【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：奇函数

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数 $f (x)$ 的图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{5 (e^{x} - e^{- x})}{x^{2} + 2}$ B、 $\frac{5 s i n x}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{5 (e^{x} + e^{- x})}{x^{2} + 2}$ D、 $\frac{5 c o s x}{x^{2} + 1}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (2 x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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3. 设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 $f (- \frac{1}{3}) ＝ \frac{1}{3} ，则 f (\frac{5}{3}) ＝$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 和 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ D、 $f (x)$ 的极值点为 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{9}) ， (\frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{2 \sqrt{3}}{9})$

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = l o g_{2} x$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 若将函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 $m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 设 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 8$ ，则 $f (x - 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 4)$

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8. 对任意的 $x \in R$ ，函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 4$ ．若函数 $g (x) = f (x) + \frac{s i n x}{s i n^{2} x + 1}$ 在区间 $[- 2022 ， 2022]$ 上既有最大值又有最小值，则函数 $g (x)$ 的最大值与最小值之和为（）

A、0 B、2 C、4 D、8

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ ，若 $f (2 x) > f (1 - x)$ ，则x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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10. 若函数 $f (2 x + 1)$ （ $x \in R$ ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称 B、2是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2021) = 0$ D、 $f (2022) = 0$

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11. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 恒有 $f (x - 1) = f (x + 1)$ ，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，已知 $k \in (- \frac{2}{15} ， - \frac{1}{18})$ ，则函数 $g (x) = f (x) - k x - \frac{1}{3}$ 在 $(- 1 ， 6)$ 上的零点个数为（）

A、4个 B、5个 C、3个或4个 D、4个或5个

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12. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 2) = - f (x)$ ，则 $f (8)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、0 D、-1

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13. 已知 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x + a + 1$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、﹣2 B、2 C、﹣6 D、6

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二、填空题

14. 已知函数 $f (x) = l n \frac{x + 1}{x - 1} + m + 1$ （其中 $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.718 ⋯$ ）是奇函数，则实数 $m$ 的值为.

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15. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (2 + x) = - f (2 - x)$ ， $f (1) = 1$ ，则 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (2023) =$ .

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16. 已知函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数；且 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) = \sqrt{- x}$ ，则 $f (2023) + f (\frac{2023}{2}) =$ ．

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17. 若奇函数 $f (x) = x^{3} + (a - 5) x^{2} + a x (x \in R)$ ，则 $f (1) =$ ．

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18. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ .则函数 $g (x) = f (x) - {(\frac{x - 2}{10})}^{3}$ 的所有零点之和为.

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19. 已知 $f (x)$ 为R上的奇函数，且 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (2 + l o g_{2} 5)$ 的值为．

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20. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = - l n (a x)$ ．若 $f (- e^{2}) = 2$ ，则 $a =$ ．

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21. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且对任意的 $x$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，若 $0 < x < 1$ 时，有 $f (x) = 4^{x} + 3$ ，则 $f (3.5) =$ .

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22. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时 $， f (x) = e x^{3} + 2 e^{- x} ，$ 则曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是.

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23. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x + 1) = 3 f (x)$ ；当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = \ln (x + 2)$ ，则 $f (0) + f (- e) =$ .

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三、解答题

24. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + (3 a + 1) x + c}{x + a} (a ， c \in R)$

(1)、当 $a = 0$ 是，是否存在实数 $c$ ，使得 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 3)$ ，且 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴负半轴有两个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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25. 已知 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ．

(1)、证明： $f (4 + x) = f (x)$ ；

(2)、若 $f (1) = 2$ ，求式子 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (50)$ 的值．

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26. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，解不等式 $f (2 t + 1) + f (t - 5) \leq 0$ .

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27. 若函数 $f (x) = e^{x} - a e^{- x} - m x (m \in R)$ 为奇函数，且 $x = x_{0}$ 时 $f (x)$ 有极小值 $f (x_{0})$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x_{0}) \geq - \frac{2}{e}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{a + 2^{x + 1}}$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、已知实数 $t$ 满足 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - 1) < 0$ ，求t的取值范围.

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29. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 1 - 3^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [2 ， 8]$ 时，方程 $f (l o g_{2}^{2} x) + f (4 - a l o g_{2} x) = 0$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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30. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \frac{a^{x} - a^{- x}}{a^{x} + a^{- x}} + b$ 在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个.
①函数 $f (x)$ 为奇函数；② $f (1) = - \frac{3}{5}$ ；③ $f (- 1) = - \frac{3}{5}$ .

(1)、从中选择的两个条件的序号为，依所选择的条件求得 $b =$ ， $a =$ ；

(2)、利用单调性定义证明函数 $g (t) = \frac{2}{t} - t$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减；

(3)、在（1）的情况下，若方程 $f (x) = m + 4^{x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上有且只有一个实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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31. 已知定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数 $f (x)$ ．在 $x \in (- 1 ， 0)$ 时， $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ．

(1)、试求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若对于 $x \in (0 ， 1)$ 上的每一个值，不等式 $t \cdot 2^{x} \cdot f (x) < 4^{x} - 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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32. 设函数 $f (x) = a^{2 x} + m a^{- 2 x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 是定义在R上的奇函数.

(1)、求实数m的值；

(2)、若 $f (1) = \frac{15}{4}$ f，且 $g (x) = f (x) - 2 k f (\frac{x}{2}) + 2 a^{- 2 x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值为2，求实数k的取值范围.

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33. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{3 (1 + 2^{x})} - \frac{1}{3}$ 为奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (f (x)) + f (\frac{31}{99}) < 0$ ．

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34. 已知函数f(x)＝ $\frac{3^{x} + a}{3^{x} + 1}$ 为奇函数．

(1)、求a的值；

(2)、判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

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35. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{2^{x} + n}{2^{x + 1} + m}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用单调性的定义证明；

(3)、当 $x \in [\frac{1}{3} ， 3]$ 时， $f (k x^{2}) + f (2 x - 1) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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