【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：奇函数与偶函数的性质2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设函数f(x)的定义域为R ， f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ .若 $f (0) + f (3) = 6$ ,则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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2. 设函数f(x)= $\frac{1 - x}{1 + x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、f(x-1)-1 B、f(x-1)+1 C、f(x+1)-1 D、f(x+1)+1

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3. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设定义在R上的可导函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $f (x) = g (2 x - 1) + 2 x$ ， $f (x + 1)$ 与 $g (x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $g^{'} (1) = 1$ B、 $g^{'} (2023) = - 2023$ C、 $f^{'} (2) = - 4$ D、 $\sum_{i = 1}^{99} f^{'} (\frac{i}{100}) = 198$

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5. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x + 2) ， x \geq 0 \\ h (x) ， x < 0 \end{array}$ 的图象关于原点对称，且 $f (5) = 1$ ，则 $h (- 2022) + h (- 2023) + h (- 2024) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，且 $y = f (2 - x)$ 为偶函数，则下列说法一定正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为2 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 3$ 对称

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7. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ．若 $x - y - 3 = 0$ ，则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8. 已知 $f (x)$ 与 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数， $f (x + 1)$ 是奇函数， $g (3 - \frac{x}{2})$ 是偶函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 都不是常数函数，现有下列三个结论：① $f (1) = 0$ ；② $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称；③ $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(3 ， + ∞)$ 上的单调性可能相同 $.$ 其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 已知函数 $f (x) = x (a + \frac{2}{1 + 2^{x}})$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、-1 B、-2 C、2 D、1

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10. 若奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \frac{x}{4 - 2 x}$ ，则 $f (23) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y) ， f (1) = \sqrt{3} ， f (2 x + \frac{3}{2})$ 为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (3 + x) = - f (3 - x)$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (2 - x) = 2$ ， $g (x) - f (x - 4) = 4$ ，若 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 1$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、-3 B、-1 C、0 D、2

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13. 已知 $f (x)$ 为奇函数，且 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，则 $f (e) =$ （）

A、 $e^{e}$ B、 $- e^{e}$ C、 $e^{- e}$ D、 $- e^{- e}$

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二、填空题

14. 已知函数f(x)= $x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则a=

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15. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ，则f(-8)的值是.

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16. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $φ (0 ＜ φ ＜ \frac{π}{2})$ 个单位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝．

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17. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x) ， g (x)$ ，满足 $f (2 x + 3)$ 为偶函数， $g (x + 5) - 1$ 为奇函数，若 $f (1) + g (1) = 3$ ，则 $f (5) - g (9) =$ .

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18. 已知 $f (x)$ 是定义为R的奇函数，当 $x \geq 0$ ， $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，则 $f (- 1) =$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m x}{e^{x} - 1}$ 是偶函数，则 $m =$ ．

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20. 若 $f (x) = g (x) \cdot l n (x^{2} - 1)$ 为奇函数，则 $g (x)$ 的表达式可以为 $g (x) =$ .

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21. 已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = 2^{- x}$ ，则 $f (l o g_{2} 3)$ 的值为．

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22. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 a s i n \frac{π x}{2}$ ，若 $f (3) = 6$ ，则 $a =$ .

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23. 设 $f (x)$ 为奇函数，且 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x} + l n x$ ，则 $f (- 1) =$ .

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24. 写出一个图象关于直线 $x = 1$ 对称的奇函数 $f (x) =$ ．

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25. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 $[0 ， 1]$ 上，其解析式如下： $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{p} ， x = \frac{q}{p} (p ， q 都是正整数， \frac{q}{p} 是既约真分数) ， \\ 0 ， x = 0 ， 1 或 [0 ， 1] 上的无理数 . \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且对任意x都有 $f (2 + x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (2022) + f (- \frac{2022}{5}) =$ .

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三、解答题

26. 设函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} + a$ 为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．

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27. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 1$ .

(1)、若 $f (l o g_{2} x) = 2023$ ，求 $f (l o g_{0.5} x)$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x)$ 的图象经过 $(1 ， - 1) ， (2 ， 3)$ ，
（i）若 $f (t) = 0$ ，求 $f (1 - \frac{1}{t})$ 的值；

（ii）若 $f (x)$ 的三个零点为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 $(x_{1}^{2} - x_{2} - 2) (x_{2}^{2} - x_{3} - 2) (x_{3}^{2} - x_{1} - 2)$ 的值.

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + m}{x^{2} + 1}$ ， $x ∈ R$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的单调性，并求函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的最大值和最小值.

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29. 设函数 $f (x) = k a^{x} - a^{- x}$ （ $a > 0$ 且， $a \neq 1$ ， $k \in R$ ），若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数且 $f (1) = \frac{3}{2}$ .

(1)、求k和a的值；

(2)、判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式 $f (2 t + 3) < f (t^{2} - 5)$ 成立时，实数t的取值范围；

(3)、函数 $g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - 6 f (x)$ ， $x \in [1 ， 2]$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ 为奇函数，其中 $a \in R$ 且 $a < 0$ .

(1)、求实数a的值，判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $[m ， n] (m < n)$ 上的值域是 $[k \cdot 2^{m} ， k \cdot 2^{n}] (k \in R)$ ，求k的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} + a$

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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32. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (- x + 1)$ 且单调递增.

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、若 $f (a - 1) > f (1)$ ，求实数a的取值范围.

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33. 已知 $f (x) = \frac{4 x - a}{x^{2} + b}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，其中 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $f (2) = 1$ .

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明；

(3)、设 $g (x) = m x^{2} - 2 x + 2 - m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2 ， 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [0 ， 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求非负实数 $m$ 的取值范围.

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34. 已知函数 $f (x) = a^{x} + m a^{- x} (0 < a < 1)$ 是奇函数．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、已知不等式 $f (n x^{2} - (n + 2) x + 2) \leq \frac{1}{a} - a$ 对任意 $x \in [- 2 ， 2]$ 都成立，求实数 $n$ 的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 1 - a \cdot 2^{x}$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - k \cdot 2^{x}$ 有零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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36. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、证明： $f (x)$ 是增函数.

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