【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：奇函数与偶函数的性质1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = e^{- (x - 1)^{2}}$ ．记 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2}) ， b = f (\frac{\sqrt{3}}{2}) ， c = f (\frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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2. 函数 $f (x) = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x) .$ 若 $f (\frac{3}{2} - 2 x) ，$ $g (2 + x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (2)$

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4. 设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 $f (- \frac{1}{3}) ＝ \frac{1}{3} ，则 f (\frac{5}{3}) ＝$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (5 + x)$ ，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 2^{x} + \frac{3}{4}$ ，则 $f (l o g_{2} 36) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{39}{8}$ D、 $\frac{39}{4}$

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6. 定义在 $R$ 上的连续可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (x + 1)$ ，且 $y = f (4 x + 2)$ 为奇函数．当 $x \in (2 ， 3]$ 时， $f (x) = {(x - 2)}^{3} - 3 (x - 2)$ ，则 $f^{'} (2022) + f (2023) =$ （）

A、-5 B、-2 C、-1 D、1

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7. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{3^{x} + 1}) \cdot c o s x$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{l n | x |}{x}$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设函数 $f (x)$ 在R上存在导数 $f^{'} (x)$ ，对任意的 $x ∈ R$ ，有 $f (- x) + f (x) = 2 x^{2}$ ，且在 $(0 ， + ∞)$ 上 $f^{'} (x) < 2 x$ ．若 $f (3 - a) - f (a) \geq 9 - 6 a$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2} ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x)$ （ $x ∈ R$ ）是奇函数， $f (x + 2) = f (- x)$ 且 $f (1) = 2$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f (2023) = 2$ B、 $f^{'} (x)$ 的周期是4 C、 $f^{'} (x)$ 是偶函数 D、 $f^{'} (1) = 1$

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11. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) s i n x$ 的部分图像大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $h (x)$ 是奇函数，且 $f (x) = h (x) + 2$ ，若 $x = 2$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个零点，则 $f (- 2) =$ （）

A、-4 B、0 C、2 D、4

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13. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ．若 $f (x + 3)$ 为奇函数， $g (\frac{3}{2} + 2 x)$ 为偶函数，且 $g (0) = - 3$ ， $g (1) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2023} g (i) =$ （）

A、670 B、672 C、674 D、676

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14. 若 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $h (x)$ 分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（）

A、 $y = f (g (x)) h (x)$ B、 $y = f (g (x)) + h (x)$ C、 $y = f (h (x)) g (x)$ D、 $y = f (x) | g (x) | h (x)$

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二、填空题

15. 若 $f (x) = \ln | a + \frac{1}{1 - x} | + b$ 是奇函数，则 $a =$ ， $b =$ ．

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16. 若函数 $y = f (x)$ 为偶函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (1) =$ .

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17. 已知函数 $y = f (2 x + 1)$ 为偶函数，且 $f (x) + f (- x) = 2$ ，则 $f (2022) + f (2024) =$ .

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18. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{a x}$ ．若 $f (l n 2) = - 4$ ，则实数a的值为．

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19. 已知 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 x^{3} + 2^{x} - 1$ ，则 $f (- 2) =$ .

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20. 对于定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + \frac{9}{2^{x} + 1}$ ，则该函数的值域为.

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21. 若函数 $f (x) = x (a e^{x} - e^{- x})$ 是偶函数，则 $a =$ ．

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22. 若函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - | 2 x - a |$ 为奇函数，则 $a =$ .

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23. 若 $f (x) = \frac{a + 1}{e^{x} - 1} + 1$ 为奇函数，则实数 $a =$ .

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24. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，且 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x ， 0 < x \leq 1 \\ x - 1 ， 1 < x \leq 2 \end{array}$ ，则 $f (- \frac{3}{2}) + f (\frac{1}{2}) + f (0) =$ .

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25. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = a x^{3} + 2 x + a + 1$ ，则 $f (2023) =$ .

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = l o g_{9} (9^{x} + 1) + k x$ 是偶函数．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、设 $h (x) = l o g_{9} (a \cdot 3^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $h (x)$ 的图象有且仅有一个公共点，求实数 $a$ 的取值范围．

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27. 设函数 $f (x) = s i n x$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $θ \in [0$ ， $π)$ ，函数 $f (x + θ)$ 是偶函数，求方程 $f (x + θ) = \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、求函数 $y = [f (x + \frac{π}{12})]^{2} + [f (x + \frac{π}{4})]^{2}$ 的值域.

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28. 已知函数 $f (x)$ 满足 $3 (x) + f (- x) = 4 x^{2} + 8 x$ .

(1)、试问是否存在 $a \in N$ ，使得函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} - a$ 为奇函数?若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

(2)、若 $\forall x_{1} \in [2 ， 4]$ ， $\forall x_{2} \in (- 1 ， + \infty)$ ， $m f (x_{1}) + (m + 1) x_{1} < \log_{2} (x_{2}^{3} - 3 x_{2}^{2} + 6)$ ，求 $m$ 的取值范围.

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29. 已知函数 $f (x) = a - \frac{3}{2^{x} + 1}$ .（a为实常数）

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、当 $f (x)$ 为奇函数时，对任意 $x \in [1, 6]$ ，不等式 $f (x) \geq \frac{u}{2^{x}}$ 恒成立，求实数u的最大值.

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30. 设函数 $f (x) = x^{2} + | x - a |$ ， $a$ 为常数.

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；

(2)、设 $a > 0$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ， $x \in (0, a]$ 为减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = sin x$ .

(1)、设 $a \in R$ ，判断函数 $g (x) = a \cdot f (x) + f (x + \frac{π}{2})$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、设函数 $F (x) = 2 f (x) - \sqrt{3}$ ，对任意 $b \in R$ ，求 $y = F (x)$ 在区间 $[b, b + 10 π]$ 上零点个数的所有可能值。

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32. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a}{2^{x} + a}$ .

(1)、求 $a$ 的值，使得 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若 $a \geq 0$ 且 $f (x) < \frac{a - 2}{3}$ 对任意 $x \in R$ 都成立，求 $a$ 的取值范围.

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33. 已知 $f (x)$ 是定义在（-1,1）上的奇函数，当x∈（0,1）时， $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在（-1,1）上的解析式；

(2)、若 $g (x)$ 是周期为2的函数，且x∈（-1,1）时 $g (x) = f (x)$ ，求 $x \in (2 n, 2 n + 1), (n \in N)$ 时的解析式.

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34. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{e^{x} + 1} (a \in R)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的值域；

(2)、当 $x_{1} ， x_{2} \in [ln \frac{1}{2} ， ln 2]$ 时，不等式 $| \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{x_{1} + x_{2}} | < λ (λ \in R)$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最小值.

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35. 已知函数f（x）= $\frac{e^{x} + a}{e^{x} - 1}$ 为奇函数．

(1)、则a=

(2)、函数g（x）=f（x）﹣ $\frac{2}{x}$ 的值域为．

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