【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的最值及其几何意义

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 不共线，且向量 $\vec{a}$ 满足 $| \vec{a} | = \frac{1}{4} .$ 若 $| \vec{a} - λ \vec{e_{1}} + (λ - 1) \vec{e_{2}} | \geq \frac{1}{4}$ 对任意实数λ都成立，则向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 夹角的最大值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = | \sin x | + \frac{4}{| \sin x |}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$

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3. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，且 $a ， b ， c \in (0 ， + \infty)$ ， $f (2) = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{2}) > 0$ B、 $f (3) < 0$ C、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、 $f (1) f (- 1)$ 最小值为 $5 - 3 \sqrt{2}$

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4. 设关于 $x$ 、 $y$ 的表达式 $F (x ， y) = c o s^{2} x + c o s^{2} y - c o s (x y)$ ，当 $x$ 、 $y$ 取遍所有实数时， $F (x ， y)$ （）

A、既有最大值，也有最小值 B、有最大值，无最小值 C、无最大值，有最小值 D、既无最大值，也无最小值

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5. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果对 $D$ 中的任意一个 $x$ ，都有 $f (x) > 0 ， - x \in D$ ，且 $f (- x) f (x) = 1$ ，则称函数 $f (x)$ 为“类奇函数”．若某函数 $g (x)$ 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）

A、若0在 $g (x)$ 定义域中，则 $g (0) = 1$ B、若 $g {(x)}_{m a x} = g (4) = 4$ ，则 $g {(x)}_{m i n} = g (- 4) = \frac{1}{4}$ C、若 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则 $g (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减 D、若 $g (x)$ 定义域为 $R$ ，且函数 $h (x)$ 也是定义域为 $R$ 的“类奇函数”，则函数 $G (x) = g (x) h (x)$ 也是“类奇函数”

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6. “家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 $x$ 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）

A、 $y = | x | \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 | x |}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) ， ω > 0 ， g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的周期相同 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的值域相同 C、 $y = f (x) + g (x)$ 可能是奇函数 D、 $y = f (x) g (x)$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$

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8. 若函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - l n x$ 的最小值为m，则函数 $g (x) = x^{2} e^{e x + 2} - l n x$ 的最小值为（）

A、 $m - 1$ B、 $e m + 1$ C、 $m + 1$ D、 $e m - 1$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (c o s x) + c o s (s i n x)$ ，下列关于该函数的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 B、 $f (x)$ 的一个周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值为 $s i n 1 + 1$

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10. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (x + 6) + l o g_{2} (4 - x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(- 6 ， 4)$ B、 $f (x)$ 有最大值 C、不等式 $f (x) < 4$ 的解集是 $(- \infty ， - 4) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 4]$ 上单调递增

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11. 已知 $s i n 15 °$ 是函数 $f (x) = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} (a_{4} ， a_{3} ， a_{2} ， a_{1} ， a_{0} \in Z ， a_{4} \neq 0)$ 的零点，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{a_{4}}{a_{0}} = 16$ B、 $f (c o s 15 °) = 0$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、 $f {(x)}_{m i n} = - 3$

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12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P M | \cdot | P N | = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $[- \sqrt{5} ， \sqrt{5}]$ B、 $| O P |$ 的取值范围是 $[1 ， 3]$ C、 $△ P M N$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ D、 $| P M | + | P N |$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{5} ， 5]$

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二、填空题

13. 已知 $a ， b \in R$ ，且 $a - 3 b + 6 = 0$ ，则 $2^{a} + \frac{1}{8^{b}}$ 的最小值为.

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14. 已知a ， b∈R，且a–3b+6=0，则2^a+ $\frac{1}{8^{b}}$ 的最小值为．

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15. 已知a∈R，函数f（x）=|x+ $\frac{4}{x}$ ﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．

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16. 函数 $f (x) = \sqrt{4 x^{4} - 3 x^{2} - 4 x + 5} - \sqrt{4 x^{4} - 15 x^{2} + 2 x + 17}$ 的最大值为．

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17. 若点 $P_{n} (n ， a_{n}) (n \in N^{*})$ 在函数 $y = \sqrt{3 (x^{2} - 1)}$ 的图象上，则 $| P_{n} P_{n + 1} |$ 的取值范围是．

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18. 若 $1 0^{x} - 1 0^{y} = 10$ ，其中 $x ， y \in R$ ，则 $2 x - y$ 的最小值为.

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19. 平面上有一组互不相等的单位向量 $O A_{1}$ ， $O A_{2}$ ， …， $O A_{n}$ ，若存在单位向量 $\vec{O P}$ 满足 $\vec{O P} \cdot \vec{O A_{1}} + \vec{O P} \cdot \vec{O A_{2}}$ $+ ⋯ + \vec{O P} \cdot \vec{O A_{n}} = 0$ ，则称 $\vec{O P}$ 是向量组 $O A_{1}$ ， $O A_{2}$ ， …， $O A_{n}$ 的平衡向量．已知 $⟨ \vec{O A_{1}} ， \vec{O A_{2}} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，向量 $\vec{O P}$ 是向量组 $\vec{O A_{1}}$ ， $\vec{O A_{2}}$ ， $\vec{O A_{3}}$ 的平衡向量，当 $\vec{O P} \cdot \vec{O A_{3}}$ 取得最大值时， $\vec{O A_{1}} \cdot \vec{O A_{3}}$ 值为．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - a x$ ，其中 $a > 0$ ，若不等式 $f^{'} (x) \geq 3 (x^{2} - \frac{1}{x}) l n x$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x - {(s i n x + c o s x)}^{2} - 2$ .若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， \frac{3 π}{4}]$ ，使不等式 $f (x_{1}) < k < f (x_{2})$ 成立，则整数 $k$ 的值可以为.（写出一个即可）.

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22. 已知 $f (x) = x^{2} - a x ， | f (f (x)) | \leq 2$ 在 $[1 ， 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的最大值为．

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23. 记正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $\frac{1}{a_{1}^{2} - 1} + \frac{1}{a_{2}^{2} - 1} + \frac{1}{a_{3}^{2} - 1} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}^{2} - 1} = \frac{n}{4 (n + 1)}$ .若不等式 $λ S_{n} ⩾ a_{n} + 1$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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24. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 2 B C = 2$ ， AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则 $\vec{M B} \cdot \vec{D N}$ 的最大值为．

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25. 已知函数 $f (x) = (\frac{2}{e^{x + π} + 1} - 1) \cdot s i n (x + \frac{3 π}{2}) - 3$ ，则 $f (x)$ 在 $[- 2 π ， 0]$ 上的最大值与最小值之和为．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{1 + x}$ ， $g (x) = a s i n x - x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有唯一零点，求实数a的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 2 | + | x - 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in R$ ， $| a^{2} - 3 a | \leq f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = | x + 2 a | + | 2 x - \frac{1}{a} | (a \neq 0)$ .

(1)、 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、证明： $f (x) \geq 2$ .

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29. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a l n x (a \in R ， a \neq 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + ∞)$ ，都有 $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 成立，求a的取值范围．

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30. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | - | 2 x + 4 |$ 的最大值是 $m$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $a + 2 b = m$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），求 $\frac{2}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值．

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31. 移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
附：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (w_{i} - \bar{w})}{\sqrt{{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{{\sum_{i = 1}^{n} (w_{i} - \bar{w})}^{2}}}$ ， ${\sum_{i = 1}^{5} (w_{i} - \bar{w})}^{2} = 76.9$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (w_{i} - \bar{w}) = 27.2$ ， $\sum_{i = 1}^{5} w_{i} = 60.8$ ， $\sqrt{769} \approx 27.7$

(1)、根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；

(2)、(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x₁ ， y₁)，(x₂ ， y₂)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型 ${\begin{array}{l} Y = b x + e \\ E (e) = 0 ， D (e) = σ^{2} \end{array}$ （随机误差 $e_{i} = y_{i} - b x_{i}$ ）．请推导：当随机误差平方和Q＝ $\sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{2}$ 取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量 $x = t - \bar{t} ， y = w - \bar{w}$ ，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型 ${\begin{array}{l} Y = b x + e \\ E (e) = 0 ， D (e) = σ^{2} \end{array}$ 利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．

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32. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x - 2 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 2 a - 1$ ，求 $a$ 的取值范围

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33. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | + | x - 1 | - 4$ 的最小值为m．

(1)、在直角坐标系中画出 $y = f (x)$ 的图象，并求出m的值；

(2)、a，b，c均为正数，且 $a + b + c = - m + 1$ ，求 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a}$ 的最小值．

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34. 已知 $f (x) = | 2 x + 2 | + | x - 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} \geq \frac{9}{2 m}$ ．

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35. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - 2 | x + a |$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求不等式 $f (x) ⩽ 0$ 的解集；

(2)、当 $a ⩾ - 1$ 时，若函数 $g (x) = \frac{1}{2} x + b$ 的图象恒在 $f (x)$ 图象的上方，证明： $2 b - 3 a > 2$ .

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