【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：复合函数的单调性

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 设函数 $f (x) = 2^{x (x - a)}$ 在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（）

A、(−∞，−2] B、[−2，0) C、(0，2] D、[2，+∞)

查看试题解析
2. 设函数 $f (x) = \ln | 2 x + 1 | - \ln | 2 x - 1 |$ ，则f(x)（）

A、是偶函数，且在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递减

查看试题解析
3. 函数f（x）=ln（x²﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）

A、（﹣∞，﹣2） B、（﹣∞，﹣1） C、（1，+∞） D、（4，+∞）

查看试题解析
4. 函数f（x）= $\log_{\frac{1}{2}}$ （x²﹣4）的单调递增区间为（）

A、（0，+∞） B、（﹣∞，0） C、（2，+∞） D、（﹣∞，﹣2）

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} | c o s x |$ ，则下列论述正确的是（）

A、 $\exists x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 2 π)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ B、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (\frac{π}{2} ， π]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 恒成立 C、使 $f (x)$ 有意义的必要不充分条件为 $x \in {x \in R | x \neq \frac{k π}{2} ， k \in Z}$ D、使 $f (x) \geq - \frac{1}{2}$ 成立的充要条件为 $x \in {x \in R | - \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}}$

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (3^{x - 1} + 3) - \frac{1}{2} x$ ，若 $f (a - 1) \geq f (2 a + 1)$ 成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $(- \infty ， - 2] ∪ [0 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [\frac{4}{3} ， + \infty)$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} x - 3 s i n | x | + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上有4个零点 D、 $f (x)$ 的值域是 $[0 ， 6]$

查看试题解析
8. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ，且有 $f (3) = 3$ ，则 $f (x) > 3 e^{3 - x}$ 的解集为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(- \infty ， 1)$

查看试题解析
9. 已知正实数 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{l n a}{a} > \frac{l n b}{b} = \frac{1}{c} l n \frac{1}{c}$ ， $b > e$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

查看试题解析
10. 已知a，b，c满足 $a = l o g_{5} (2^{b} + 3^{b})$ ， $c = l o g_{3} (5^{b} - 2^{b})$ ，则（）

A、 $| a - c | \geq | b - c |$ ， $| a - b | \geq | b - c |$ B、 $| a - c | \geq | b - c |$ ， $| a - b | \leq | b - c |$ C、 $| a - c | \leq | b - c |$ ， $| a - b | \geq | b - c |$ D、 $| a - c | \leq | b - c |$ ， $| a - b | \leq | b - c |$

查看试题解析
11. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）
① $f (x) = \frac{1}{x}$ ，② $f (x) = \ln (\sqrt{1 + x^{2}} + x)$ ，③ $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ，④ $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} ， x ⩾ 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{matrix}$

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| x + a | - a} - x$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 0]$ B、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、当 $a = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、当 $a \in (0 ， \frac{1}{4})$ 时，关于x的方程 $f (a x) = a$ 有两个解

查看试题解析
13. 设 $f (x)$ 是定义域为R的偶函数，且在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，若 $a = f (l o g_{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{3}})$ ， $b = f (l o g_{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{2}})$ ， $c = f (- 3^{- \frac{4}{3}})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

查看试题解析
14. 下列函数在定义域内是增函数的为（）

A、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = - x^{2}$ C、 $f (x) = l o g_{3} | x + 1 |$ D、 $f (x) = 2^{x}$

查看试题解析

二、填空题

15. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意实数a，b都有 $f (a + b) = f (a) + f (b) - 1$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ．若 $f (2) = 3$ ，则不等式 $f (x^{2} - x - 1) < 2$ 的解集为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (x + \frac{π}{4}) c o s (x - \frac{π}{4}) + s i n x$ ，若对任意实数 $x$ ，恒有 $f (a_{1}) \leq f (x) \leq f (a_{2})$ ，则 $c o s (a_{1} - a_{2}) =$ ．

查看试题解析
17. 已知 $f (x) = 2022 x^{2} + l o g_{2} | x |$ ，且 $a = f ({(\frac{1}{10})}^{- 0.2}) ， b = f (l g \frac{1}{2022}) ， c = f (4^{l o {g_{0.2}}^{6}})$ ，则 $a ， b ， c$ 之间的大小关系是.（用“ $<$ ”连接）

查看试题解析
18. 写出一个具有性质①②③的函数 $f (x) =$
① $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ；② $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ；③当 $x \in (0 ， + ∞)$ 时， $f^{'} (x) < 0$

查看试题解析
19. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的单调递减区间为.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = | \ln (x - 1) |$ ， $f (a) > f (b)$ ，以下命题：
①若 $a > 2$ ，则 $a > b$ ；

②若 $a > b$ ，则 $a > 2$ ；

③若 $a > 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ ；

④若 $a > 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ ．

其中正确的序号是．

查看试题解析
21. 若不等式 $(a x^{2} + b x + 1) e^{x} \leq 1$ 对一切x $\in$ R恒成立，其中a ， b $\in$ R ， e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是．

查看试题解析
22. 函数 $y = \log_{0.5} (x^{2} - a x + 5)$ 在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是

查看试题解析
23. 已知函数 $y = {log}_{2} (a x - 1)$ 在 $(- 2 ， - 1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析
24. 已知函数f（x）=log_k（1﹣kx）在[0，2]上是关于的增函数，则k的取值范围是．

查看试题解析

三、解答题

25. 已知函数f（x）=sin²x﹣cos²x﹣2 $\sqrt{3}$ sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（ $\frac{2 π}{3}$ ）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

查看试题解析
26. 已知函数 $f (x) = a l n x + x^{2} - (a + 2) x (a \in R)$

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ （ $e$ 为自然对数的底数)上有零点，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
27. 已知函数 $f (x) = x + b (1 + l n x)$ ， $(b \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} s i n x$ ，若存在 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，使得 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求证：
① $b < 0$ ；
② $x_{1} x_{2} < 4 b^{2}$ ．

查看试题解析
28. 已知四个函数： $f_{1} (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $f_{2} (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ， $f_{3} (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ， $f_{4} (x) = x^{2} + 4$ .

(1)、从上四个数选择一个函数，判断其奇偶性，并加以证明；

(2)、以上四个中，是否满足其图象与直线 $y = 3$ 有且仅有一个公共点的函数?若存在，写出满足条件的一个函数，并证明；若不存在，说明理由.

查看试题解析
29. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} - 2 x + a)$ （其中 $a \in R$ ， $a$ 为常数， $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设曲线 $y = f (x)$ 在 $(a ， f (a))$ 处的切线为 $l$ ，当 $a \in [1 ， 3]$ 时，求直线 $l$ 在 $y$ 轴上截距的取值范围.

查看试题解析
30. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a x^{2} + b x + c}$ ，其中 $a ， b ， c \in R$
（Ⅰ）若 $b = c = 1$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1$ 总成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（Ⅱ）若 $a > 0$ ， $b = 0$ ， $c = 1$ ，若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $e \sqrt{\frac{1}{a}} < f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{e^{2} + 1}{2}$

查看试题解析
31. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ．

(1)、求证：函数 $f (x)$ 是偶函数；

(2)、设 $a \in R$ ，求关于 $x$ 的函数 $y = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 2 a f (x)$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 时的值域 $g (a)$ 的表达式；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $m f (x) \leq 2^{- x} + m - 1$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 时恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

查看试题解析
32. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x}}$ ， $g (x) = \ln x$ ，其中e为自然对数的底数．

(1)、求函数 $y = f (x) g (x)$ 在x $=$ 1处的切线方程；

(2)、若存在 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $g (x_{1}) - g (x_{2}) = λ [f (x_{2}) - f (x_{1})]$ 成立，其中 $λ$ 为常数，
求证： $λ > e$ ；

(3)、若对任意的 $x \in (0 ， 1]$ ，不等式 $f (x) g (x) \leq a (x - 1)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析
33. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{2 - x}{2 + x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = l o g_{a} (x - m)$ 有实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
34. 已知 $m > 0 ， n > 0 ， 3^{m} + 2^{- n} < 3^{n} + 2^{- m}$ .

(1)、证明： $m < n$ ；

(2)、若函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{x - 4}{x + 4} (a > 0 ， a \neq 1)$ ，当定义域为 $(m ， n)$ 时，值域为 $(1 + l o g_{a} (n - 2) ， 1 + l o g_{a} (m - 2))$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
35. 已知指数函数 $f (x)$ 满足 $f (1) - f (- 1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (2 x) + k f (x)$ ，若方程 $g (x) + g (- x) + 10 = 0$ 有4个不相等的实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ．
（i）求实数 $k$ 的取值范围；
（i i）证明： $| x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} | + | x_{4} | < 4$ ．

查看试题解析