【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数单调性的性质2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数      ②f(x)在区间 $（ \frac{π}{2} ， π ）$ 单调递增

③f(x)在[-π，π]有4个零点          ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（   ）

A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③

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2. 已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）² 的图象与y= $\sqrt{x}$ +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　）

A、（0，1]∪[2 $\sqrt{3}$ ，+∞） B、（0，1]∪[3，+∞） C、（0， $\sqrt{2}$ ）∪[2 $\sqrt{3}$ ，+∞） D、（0， $\sqrt{2}$ ]∪[3，+∞）

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3. 若函数e^xf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（　　）

A、f（x）=2^x B、f（x）=x² C、f（x）=3^﹣^x D、f（x）=cosx

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4. 已知函数f（x）=3^x﹣（ $\frac{1}{3}$ ）^x ，则f（x）（　　）

A、是偶函数，且在R上是增函数 B、是奇函数，且在R上是增函数 C、是偶函数，且在R上是减函数 D、是奇函数，且在R上是减函数

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5. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 x + 1 ， g (x) = 2 x - 2 l n x$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in (1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) < g (x_{1})$ B、 $2 x_{1} < l n x_{2}$ C、 $l n (2 x_{1}) < l n x_{2} < x_{1}$ D、 $x_{1} < l n x_{2} < 2 x_{1}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f^{'} (x) > 1$ ， $f (3) = 4$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 为增函数 B、 $g (x) = f (x) - x$ 为增函数 C、 $f (2 x - 1) > 4$ 的解集为 $(- \infty ， 2)$ D、 $f (2 x - 1) > 2 x$ 的解集为 $(2 ， + ∞)$

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7. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 6) = f (x)$ ， $y = f (x + 3)$ 为偶函数，若 $f (x)$ 在 $(0 ， 3)$ 内单调递增.记 $a = f (2021)$ ， $b = f (e^{- 1})$ ， $c = f (l n 2)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 已知 $a = e^{0.1} ， b = \sqrt[3]{1.3} ， c = 1.0 5^{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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9. 已知 $a > b > 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $e^{a - b} > \frac{a}{b}$ B、 $\frac{l n a}{a} > \frac{l n (b + 1)}{b + 1}$ C、 $l o g_{a} (a + 1) > l o g_{b} (b + 1)$ D、 $\frac{a}{b} > \frac{a^{b}}{b^{a}}$

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10. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足，①对于互不相等的任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， 2]$ 都有 $f (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = f (x_{1}) - f (x_{2})$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ， ② $f (x + 2) = - f (x)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，③ $y = f (x + 2)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 对称，则 $f (- 10)$ ､ $f (- \frac{9}{2})$ ､ $f (3)$ 的大小关系为（）

A、 $f (- 10) < f (- \frac{9}{2}) < f (3)$ B、 $f (- \frac{9}{2}) < f (3) < f (- 10)$ C、 $f . (- 10) < f (3) < f (- \frac{9}{2})$ D、 $f (3) < f (- 10) < f (- \frac{9}{2})$

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11. 若 $a = e^{0.7} ， b = \frac{l n (3.5 e^{2})}{2} ， c = \frac{\sqrt{14}}{2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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12. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} x - \frac{3}{x + 1}$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (- 1 ， 2)$

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13. 已知 $a ， b ， c$ 均为正实数， $e$ 为自然对数的底数，若 $a = b e^{c} ， | l n a | > | l n b |$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + b < a b$ B、 $a^{b} < b^{a}$ C、 $c < \frac{a - b}{a + b}$ D、 $a^{2} > c + 1$

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14. 已知 $a = e^{0.9} + 1 ， b = \frac{29}{10} ， c = l n (0.9 e^{3})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

15. 若函数e^xf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．
①f（x）=2^﹣^x②f（x）=3^﹣^x③f（x）=x³④f（x）=x²+2．

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16. 设 $P = {α | f (α) = 0} ， Q = {β | g (β) = 0}$ ，若存在 $α \in R ， β \in R$ ，使得 $| α - β | < n$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“n度零点函数”．若 $f (x) = l o g_{2} x - 1$ 与 $g (x) = x - a \cdot 2^{x}$ 互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为．

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17. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (9 - a^{x}) ， g (x) = l o g_{a} (x^{2} - a x)$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，存在 $x_{2} \in [3 ， 4]$ 使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} ， g (x) = x^{2}$ ，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围．

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19. 函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 x + 2^{x} - 1$ ，则不等式 $f (x) > 3$ 的解集为.

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20. 请写出一个函数表达式满足下列3个条件：①最小正周期 $T = π$ ；②在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递减；③奇函数

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21. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $\frac{f^{'} (x)}{x^{2} - 1} > 0$ ，则 $f (x)$ 的单调递减区间为；满足以上条件的一个函数是．

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22. 函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) - f (x + 2) = 0$ ，且在 $(- \infty ， 0)$ 内单调递增，请写出一个符合条件的函数 $f (x) =$ .

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23. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) =$ .
① $f (x) - f (- x) = 0$ ；
② $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ；
③ $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ；

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24. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 l n x - x^{2} (x > 0) \\ x + \frac{a}{x} (x < 0) \end{array}$ 的最大值为-1，则实数 $a$ 的取值范围是.

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25. 函数 $f (x)$ 满足：①定义域为R，② $f (- x) + f (x) = 0$ ， ③ $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ .请写出满足上述条件的一个函数 $f (x)$ ， $f (x) =$ .

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三、解答题

26. 因函数 $y = x + \frac{t}{x} (t > 0)$ 的图像形状象对勾，我们称形如“ $y = x + \frac{t}{x} (t > 0)$ ”的函数为“对勾函数”．

(1)、证明对勾函数具有性质：在 $(0 ， \sqrt{t}]$ 上是减函数，在 $(\sqrt{t} ， + \infty)$ 上是增函数．

(2)、已知 $f (x) = 2 x + \frac{4}{2 x - 1} - 5$ ， $x \in [1 ， 3]$ ，利用上述性质，求函数 $f (x)$ 的单调区间和值域；

(3)、对于（2）中的函数 $f (x)$ 和函数 $g (x) = x^{2} - m x + 4$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 3]$ ，使得 $g (x_{2}) < f (x_{1})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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27. 函数 $f (x) = l n x - \frac{x^{2}}{a} + 1 (a \in R ， a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，
①证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{\sqrt{e}}$ ；
②证明： $\frac{a}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}} < x_{2}^{2} - x_{1} < a^{2} + a - 1$ ．（注： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数）

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28. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求证： $e^{2 x} - x > \frac{e}{6} (x^{3} + 3 x + 2)$ .

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29. 已知 $f (x) = | a x + a - 4 | + x + 1$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，解不等式 $f (x) < 9$ ；

(2)、若 $x \geq 2$ 时， $f (x) \leq {(x + 2)}^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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30. 设函数 $f (x) = x^{3} + l n (x + 1)$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， 0)$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $n \in N^{*}$ 且 $n ⩾ 2$ 时， $l n (n + 1) > \frac{1}{8} + \frac{2}{27} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n - 1}{n^{3}}$ .

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31. 已知函数 $g (x) = a l n x - (2 a - 2) x + \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值.

(1)、求 $a$ 的值及函数 $g (x)$ 的极值；

(2)、设 $f (x) = g (x) - t$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，证明： $x_{3} < 4 + x_{1}$ .

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32. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x - l n x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内有两个不相等的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ．
①求实数a的取值范围；
②证明： $f (x_{1} + x_{2}) > 2 - l n (x_{1} + x_{2})$ ．

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33. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1)$ ， $g (x) = a x e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $h (x) = x^{2} - x - 2 f (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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34. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = \frac{m}{2} x^{2} + (1 - m) x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、（i）若函数 $f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为递减函数，求 $m$ 的值；
（ii）在（i）成立的条件下，若 $x_{1} + x_{2} > 2 (x_{1} \neq x_{2})$ 且 $2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) = 2 g (x_{1}) + 2 g (x_{2}) + t (t \in Z)$ ，求 $t$ 的最大值.

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35. 设函数 $f (x) = a (x - 2 l n x) + \frac{x - 1}{x^{2}}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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