【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数单调性的性质1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设函数 $f (x) = 2^{x (x - a)}$ 在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（）

A、(−∞，−2] B、[−2，0) C、(0，2] D、[2，+∞)

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2. 设函数 $f (x) = \ln | 2 x + 1 | - \ln | 2 x - 1 |$ ，则f(x)（）

A、是偶函数，且在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递减

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3. 若 $2^{a} + \log_{2} a = 4^{b} + 2 \log_{4} b$ ，则（）

A、 $a > 2 b$ B、 $a < 2 b$ C、 $a > b^{2}$ D、 $a < b^{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - x ， x \leq 0 \\ l o g_{2} (x + 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的最小值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x}{1 + | x |}$ ，则不等式 $- 3 < f (2 x + 1) < 3$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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6. 已知 $x ， y \in R$ ，若 $x \cdot (e^{x} + l n x + x) = 1 ， y \cdot [2 l n y + l n (l n y)] = 1$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯ ⋯$ 是自然对数的底数，则（）

A、 $0 < x < 1$ B、 $x y = 2$ C、 $y - x > 1$ D、 $y - x < \frac{3}{2}$

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7. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x) ， f (1 - x) = 1 - f (x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上还满足：①当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ；② $f (0) = 0$ ；③ $f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x)$ .则 $f (- \frac{5}{3}) + f (\frac{1}{8})$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知 $a = \frac{2}{5}$ ， $b = s i n 1$ ， $c = l n \frac{5}{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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9. 已知 $a = e^{- 3}$ ， $b = l n 1.02$ ， $c = s i n 0.04$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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10. 若 $\sqrt{1 + 2 a} = e^{b} = \frac{1}{1 - c} = 1.01$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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11. 给出下列说法，其中正确的是（）

A、若 $c o s θ = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s 2 θ = - \frac{7}{9}$ B、若 $t a n 2 θ = \frac{4}{3}$ ，则 $t a n θ = \frac{1}{2}$ C、若 $x \geq \frac{1}{2}$ ，则 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 D、若 $0 < x \leq \frac{1}{2}$ ，则 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2

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12. 下列函数中，以 $π$ 为周期且在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递增的是（）

A、 $f (x) = | c o s 2 x |$ B、 $f (x) = | s i n 2 x |$ C、 $f (x) = | c o s x |$ D、 $f (x) = | s i n x |$

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二、填空题

13. 若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 2$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是．

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14. 若点 $P_{n} (n ， a_{n}) (n \in N^{*})$ 在函数 $y = \sqrt{3 (x^{2} - 1)}$ 的图象上，则 $| P_{n} P_{n + 1} |$ 的取值范围是．

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15. 若关于 $x$ 的方程 ${(\frac{1}{2})}^{x} + m = \sqrt{x + 1}$ 在实数范围内有解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知 $0 < a < b < 1$ ，设 $W (x) = {(x - a)}^{3} (x - b)$ ， $f_{k} (x) = \frac{W (x) - W (k)}{x - k}$ ，其中k是整数．若对一切 $k \in Z$ ， $y = f_{k} (x)$ 都是区间 $(k ， + \infty)$ 上的严格增函数．则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是．

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17. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - a x$ ，其中 $a > 0$ ，若不等式 $f^{'} (x) \geq 3 (x^{2} - \frac{1}{x}) l n x$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为.

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18. 已知函数 $f (x) = x + l n x - 1$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是.

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19. 先将函数 $f (x) = c o s x$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，所得图象与函数 $g (x)$ 的图象关于x轴对称，若函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上恰有两个零点，且在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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20. 记正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $\frac{1}{a_{1}^{2} - 1} + \frac{1}{a_{2}^{2} - 1} + \frac{1}{a_{3}^{2} - 1} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}^{2} - 1} = \frac{n}{4 (n + 1)}$ .若不等式 $λ S_{n} ⩾ a_{n} + 1$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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21. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点 $P (x ， y ， z)$ 是二次曲面 $4 x^{2} - x y + y^{2} - 2 z = 0$ 上的任意一点，且 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $z > 0$ ，则当 $\frac{z}{x y}$ 取得最小值时，不等式 $\frac{e^{x}}{x} + \frac{a y}{2} - \frac{a l n \frac{z}{3}}{2} \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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22. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ 的解析式．
① $f (x y) = f (x) f (y)$ ；② $f^{'} (x)$ 是偶函数；③ $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增．

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23. 已知函数 $y = f (x)$ 是R上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，有下列命题：
① $f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2022) = 0$ ；

②点 $(2022 ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心；

③函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2022 ， 2022]$ 上有2023个零点；

④函数 $y = f (x)$ 在 $[7 ， 9]$ 上为减函数；

则正确结论的序号为．

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三、解答题

24. 已知函数 $f (x) = | x - a | - \frac{1}{x} + a ， a \in R$ .

(1)、若f（1）=2，求a的值；

(2)、若存在两个不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明：
① $2 < x_{1} + x_{2} < 2 a$ ；

② $\frac{x_{2}}{x_{1}} < a^{2} + 1$ .

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25. 设函数 $f (x) ＝ a^{2} x^{2} ＋ a x - 3 ln x ＋ 1$ ，其中a>0．

(1)、讨论f(x)的单调性；

(2)、若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．

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26. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2^{n} = 2 a_{n} + 1$

(1)、求 $a_{1}$ ，并证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列：

(2)、若 $2 a_{k}^{2} < S_{2 k}$ ，求正整数 $k$ 的所有取值.

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27. 已知 $f (x) = | 2 x + 2 | + | x - 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} \geq \frac{9}{2 m}$ ．

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28. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | - | x - 6 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 4$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) \leq x^{2} + 2 x + m$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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29. 已知函数 $f (x) = l n \frac{1 - x}{2} + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $x < 0$ 时， $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + l n x + m x$ ，（ $m \in R$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} - f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{{(m + 2)}^{2}}{8}$ ．

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31. 已知函数 $f (x) = x \cdot l n x + \frac{1}{e}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间与最小值.

(2)、求证： $e^{\frac{x}{2}} + l n x > c o s 2 x + \frac{s i n x - 1}{x}$ .

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32. 设a为实数，函数 $f (x) = a e^{x} + x l n x + 1$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{e}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、判断函数 $f (x)$ 零点的个数．

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33. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a x + a l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < e$ 时，讨论 $f (x)$ 的零点个数．

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34. 数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了 $n (n \in N_{+})$ 件商品．

(1)、若 $n = 10$ ，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．

(2)、抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．

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35. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + (1 - a) x - l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有两个不等实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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