【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数单调性的判断与证明2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x^{3}}$ ,则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B、是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C、是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D、是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

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2. 函数f(x)= $\frac{2^{x} - 2^{- x}}{| x + 1 | + | x - 1 |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log₂5.1），b=g（2^0.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A、a＜b＜c B、c＜b＜a C、b＜a＜c D、b＜c＜a

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4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A、y=x+1 B、y=﹣x² C、y= $\frac{1}{x}$ D、y=x|x|

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (3 x + \frac{π}{4}) + 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $\frac{2}{3} π$ B、直线 $x = \frac{π}{12}$ 是 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是 $y = f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递减

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6. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{ω x}{2} c o s \frac{ω x}{2} + c o s^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有 $4$ 条对称轴；则（）

A、 $ω \in [\frac{13}{4} ， \frac{17}{4})$ B、 $π$ 可能是 $f (x)$ 的最小正周期 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{16} ， \frac{π}{16})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上可能有 $3$ 个或 $4$ 个零点

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7. 已知三个函数y=x³ ， y=3^x ， $y = l o g_{3} x$ ，则（）

A、定义域都为R B、值域都为R C、在其定义域上都是增函数 D、都是奇函数

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8. 设 $a = \frac{1}{5} ， b = l n \frac{11}{9} ， c = s i n \frac{1}{5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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9. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）

A、 $f (x) = s i n x$ B、 $f (x) = 2^{| x |}$ C、 $f (x) = x^{3} + x$ D、 $f (x) = \frac{1}{2} (e^{- x} - e^{x})$

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10. 下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = t a n x$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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11. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，将 $y = f (x)$ 的图像上所有点向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图像．若 $g (x)$ 为奇函数，且最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递减 C、不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ 的解集为 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π - \frac{π}{12}] (k \in Z)$ D、方程 $f (\frac{x}{2}) = g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有2个解

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12. 已知函数 $f (x + 1)$ 是偶函数，且 $f (2 + x) = - f (x)$ ．当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x c o s \frac{1}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{4 π + 1}{π} ， \frac{6 π - 1}{π})$ 上有且只有一个零点 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{6}{5 π} ， 1)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 区间 $(\frac{1}{π} ， 1)$ 上有且只有一个极值点

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13. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(π ， \frac{5 π}{4})$ 上单调递增

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14. 下列函数在其定义域上单调递增的是（）

A、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ B、 $y = x^{- 3}$ C、 $y = t a n x$ D、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} x$

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二、填空题

15. 写出一个符合“对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - (x_{2})] < 0$ ”的函数 $f (x) =$ ．

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16. 同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ （其中 $a$ ， $b$ 是非零常数，无理数 $e = 2.71828$ …），对于函数 $f (x)$ 以下结论正确的是．
①如果 $a = b$ ，那么函数 $f (x)$ 为奇函数；

②如果 $a b < 0$ ，那么 $f (x)$ 为单调函数；

③如果 $a b > 0$ ，那么函数 $f (x)$ 没有零点；

④如果 $a b = 1,$ 那么函数 $f (x)$ 的最小值为2．

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17. 已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x + 8) = f (x) + f (4)$ ，当 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 4]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，给出下列命题：
① $f (4) = 0$ ；

②函数 $y = f (x)$ 在 $[- 12 ， - 8]$ 上是递增的；

③函数 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = - 8$ 对称；

④函数 $y = f (x)$ 在 $[- 12 ， 12]$ 上有四个零点.

其中所有真命题的序号是.

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18. 函数 $f (x) = 9 x^{2} + \sqrt{x - 1}$ 的最小值为.

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19. 若函数 $f (x) = a + {log}_{2} x$ 在区间 $[1 ， a]$ 上的最大值为6，则 $a =$ .

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20. 若幂函数y=（m²﹣4m+1）x^m2^﹣^2m^﹣³为（0，+∞）上的增函数，则实数m的值等于．

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21. 对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
⑴f（x）在[m，n]上是单调的；
⑵当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）= $\frac{a + 1}{a}$ ﹣ $\frac{1}{x}$ （a＞0）存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是．

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22. 若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为．

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23. 给出下列命题：
（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；
（2）若∀x₁ ， x₂∈R，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|成立，且函数f（x）在R上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；
（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）= ${\begin{matrix} a^{x} ， x \leq 1 \\ a - x ， x ＞ 1 \end{matrix}$ ，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多 $\frac{5}{2}$ ，则实数a的取值集合为 ${\frac{1}{2}}$ ；
（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x²﹣1）²﹣|x²﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．

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24. 已知 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， 2)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，试写出符合上述条件的一个函数解析式 $f (x) =$ .

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三、解答题

25. 已知函数 $f (x) = (2 + x + a x^{2}) \ln (1 + x) - 2 x$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求a．

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26. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = \ln x - 2 \sqrt{x} + 2$ ，其中 $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数．

(1)、设 $h (x) = f (x) + x^{2}$ ，若存在 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $h (x_{1}) = h (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} < a - 1$ ；

(2)、当 $a = e$ 时，若对 $x \geq 1$ 都有 $f (x) + k g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = e^{x} - (x + m) \ln (x + m) + x$ ， $m \leq 2$ .

(1)、若直线 $l ： y = x + 1$ 是函数 $f (x)$ 的切线，求 $m$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明.

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28. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $D$ ，若对于任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 在 $D$ 上为非减函数.

(1)、判断 $f_{1} (x) = x^{2} - 4 x$ ， $x \in [1, 4]$ 与 $f_{2} (x) = | x - 1 | + | x - 2 |$ ， $x \in [1, 4]$ 是否是非减函数?

(2)、已知函数 $g (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x - 1}}$ 在 $[2, 4]$ 上为非减函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $h (x)$ 在 $[0, 1]$ 上为非减函数，且满足条件：① $h (0) = 0$ ，② $h (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} h (x)$ ，③ $h (1 - x) = 1 - h (x)$ ，求 $h (\frac{1}{2020})$ 的值.

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29. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 且满足 $f (- x) + f (x) = x^{2}$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f' (x) < x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上的单调性并加以证明；

(2)、若方程 $f (x) = x$ 有实数根 $x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个不动点，设正数 $x_{0}$ 为函数 $g (x) = x e^{x} + a (1 - e^{x}) + x + 1$ 的一个不动点，且 $f (x_{0}) + \frac{1}{2} \geq f (1 - x_{0}) + x_{0}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{e^{x} + 1} + 1$ 为奇函数.

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、解不等式 $f (\log_{2}^{2} x) + f (\log_{\sqrt{2}} x - 3) \leq 0$ .

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31. 已知函数f(x)= $\frac{1}{x}$ -kx,且f( $\frac{1}{2}$ )=3，

(1)、求k的值；

(2)、判断函数的奇偶性；

(3)、判断函数f(x)在(1，+∞)上是增函数还是减函数?并证明你的结论。

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32. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} - a \ln x$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $a = - 1$ ，判断函数的单调性，并写出证明过程；

(2)、若 $a \in [- \frac{1}{e} ， 0)$ ，求证：对任意 $x \in (0 ， 2]$ ，都有 $f (x) < \frac{1 - a - a^{2}}{e^{- a}} .$

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33. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - 1.$
(Ⅰ)求数列 ${S_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ)判断数列 ${\frac{S_{n +1}}{S_{n}}}$ 的单调性，并证明.

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34. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} - x^{2} ， x \leq 1 \\ a x l n x ， x > 1 \end{matrix} (a \in R)$ .

(1)、试讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是函数 $f (x)$ 图像上异于点 $O$ 的两点，其中 $x_{1} \leq 1$ ， $x_{2} > 1$ ，是否存在实数 $a$ ，使得 $O P ⊥ O Q$ ，且函数 $f (x)$ 在点 $Q$ 切线的斜率为 $\frac{1}{12} f^{'} (x_{1} - \frac{1}{6})$ ，若存在，请求出 $a$ 的范围；若不存在，请说明理由.

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35. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - a}{2^{x}}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (x^{2} - x) + f (2 x^{2} - k) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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