【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数单调性的判断与证明1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - l n x$ B、 $f (x) = \frac{1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 3^{| x - 1 |}$

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2. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
② $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
③当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4}]$ ；
④ $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知函数 $y = 2 a x^{3}$ （ $a > 0$ ），则此函数是（）

A、偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减 B、偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增 C、奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减 D、奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增

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4. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，且 $a ， b ， c \in (0 ， + \infty)$ ， $f (2) = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{2}) > 0$ B、 $f (3) < 0$ C、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、 $f (1) f (- 1)$ 最小值为 $5 - 3 \sqrt{2}$

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5. 若定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则下列结论正确的是（）．

A、若 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- 1 ， 1)$ ， $x_{2} > | x_{1} |$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ B、若 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ ，则 $f (\frac{40}{41}) = - 2$ C、若 $f (2 - x) + g (x) = 4$ ，则 $g (x)$ 的图像关于点 $(2 ， 4)$ 对称 D、若 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，则 $f (s i n 2 α) > 2 f (s i n α)$

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6. 已知函数 $f (x) = t a n (2 x + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为π B、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 中心对称 C、函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 D、若 $- \frac{π}{24} \leq x < \frac{π}{12}$ ，则 $f (x) \geq 1$

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{\frac{1}{x}}$ ，则（）

A、 $f (x) = f (- x)$ B、 $f (x)$ 的最小值为 $2 e$ C、 $f (x) f (- x)$ 的最小值为 $4$ D、 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 上单调递增

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8. 已知随机变量X服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，定义函数 $f (x)$ 为X取值不超过x的概率，即 $f (x) = P (X \leq x)$ ．若 $x > 0$ ，则（）

A、 $f (- x) = 1 - f (x)$ B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数 D、 $P (| X | \leq x) = 2 f (x) - 1$

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9. 下列函数在区间 $(0 ， 2)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = (x - 2)^{2}$ B、 $y = \frac{1}{x - 2}$ C、 $y = s i n (x - 2)$ D、 $y = c o s (x - 2)$

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10. “冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数 $x$ ，如果 $x$ 是奇数㩆乘以3再加1，如果 $x$ 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设 $k \in N^{*}$ ，各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ， & a_{n} 为偶数， \\ a_{n} + k ， & a_{n} 为奇数， \end{array}$ 则（）

A、当 $k = 5$ 时， $a_{5} = 4$ B、当 $n > 5$ 时， $a_{n} \neq 1$ C、当 $k$ 为奇数时， $a_{n} \leq 2 k$ D、当 $k$ 为偶数时， ${a_{n}}$ 是递增数列

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11. 函数 $y = x l n x$ （　　）

A、严格增函数 B、在 $(0 ， \frac{1}{e})$ 上是严格增函数，在 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ 上是严格减函数 C、严格减函数 D、在 $(0 ， \frac{1}{e})$ 上是严格减函数，在 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ 上是严格增函数

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (c o s x) + c o s (s i n x)$ ，下列关于该函数的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 B、 $f (x)$ 的一个周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值为 $s i n 1 + 1$

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13. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (x + 6) + l o g_{2} (4 - x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(- 6 ， 4)$ B、 $f (x)$ 有最大值 C、不等式 $f (x) < 4$ 的解集是 $(- \infty ， - 4) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 4]$ 上单调递增

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二、填空题

14. 设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < - a ， \\ \sqrt{a^{2} - x^{2}} ， - a \leq x \leq a ， \\ - \sqrt{x} - 1 ， x > a . \end{array}$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 在区间 $(a - 1 ， + \infty)$ 上单调递减；

②当 $a \geq 1$ 时， $f (x)$ 存在最大值；

③设 $M (x_{1} ， f (x_{1})) (x_{1} \leq a) ， N (x_{2} ， f (x_{2})) (x_{2} > a)$ ，则 $| M N | > 1$ ；

④设 $P (x_{3} ， f (x_{3})) (x_{3} < - a) ， Q (x_{4} ， f (x_{4})) (x_{4} \geq - a)$ ．若 $| P Q |$ 存在最小值，则a的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{2}]$ ．

其中所有正确结论的序号是．

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15. 已知 $f (x) = x^{2} - a x ， | f (f (x)) | \leq 2$ 在 $[1 ， 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{2^{x} - 2^{- x}}$ 给出下列结论：① $f (x)$ 是偶函数；② $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数；③若 $t > 0$ ，则点 $(t ， f (t))$ 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为．

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17. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1 ， b \in R)$ ，若 $f (x)$ 存在反函数，则 $b$ 的取值范围是．

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18. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， 0 < x < 1 \\ e^{x} ， x \geq 1 \end{array}$ ，若存在 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，使得 $f (x_{2}) = e f (x_{1})$ ，则 $x_{1} \cdot f (x_{2})$ 的取值范围为.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x - 2 s i n x$ ，则不等式 $f (6 - 5 x) + f (x^{2}) \leq 0$ 的解集为.

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20. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{2 a_{2}} + \frac{1}{3 a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n a_{n}} = \frac{3 n}{2 n + 1}$ ，若 $\frac{λ}{a_{n}} \leq 2$ 恒成立，则 $λ$ 的最大值是

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21. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \leq 1 ， \\ {(x - 1)}^{2} + 1 ， x > 1 ， \end{array}$ 则不等式 $f (1 - | x |) + f (2) > 0$ 的解集为．

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22. 请写出一个值域为 $[0, 2]$ 且在 $[0, 4]$ 上单调递减的偶函数．

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23. 已知函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，给出下列四个命题：
① $2 π$ 是函数 $f (x)$ 的一个周期； ②函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称；

③函数 $f (x)$ 的图象过点 $(π ， 0)$ ； ④函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数.

其中所有真命题的序号是.

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24. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ 成立．若 $a = f (\ln 2)$ ， $b = f (\log_{0.2} 0.03)$ ， $c = f (2^{0.7})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为．（用符号“ $<$ ”连接）

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三、解答题

25. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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26. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 的单调性并给予证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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27. 设 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，如果对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2}) ， | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < | x_{1} - x_{2} |$ 均成立，则称 $y = f (x)$ 是“平缓函数”.

(1)、若 $f_{1} (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} ， f_{2} (x) = s i n x$ ，试判断 $y = f_{1} (x)$ 和 $y = f_{2} (x)$ 是否为“平缓函数” ?
并说明理由； (参考公式： $x > 0$ 时， $s i n x < x$ 恒成立)

(2)、若函数 $y = f (x)$ 是“平缓函数”，且 $y = f (x)$ 是以 1为周期的周期函数，
证明：对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in R$ ，均有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < \frac{1}{2}$ ；

(3)、设 $y = g (x)$ 为定义在 $R$ 上函数，且存在正常数 $A > 1$ 使得函数 $y = A \cdot g (x)$ 为“平缓函数”.
现定义数列 ${x_{n}}$ 满足： $x_{1} = 0 ， x_{n} = g (x_{n - 1}) (n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots)$ ，

试证明：对任意的正整数 $n ， g (x_{n}) \leq \frac{A | g (0) |}{A - 1}$ .

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28. 函数 $f (x) = a^{x} + x (a > 0)$ ，且 $f (1) = e + 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并利用单调性的定义证明；

(2)、 $g (x) = f (x) - λ x$ ，且 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有零点，求 $λ$ 的取值范围.

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29. 从一个无穷数列 ${a_{n}}$ 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为 ${a_{n}}$ 的一个无穷递增子列．已知数列 ${b_{n}}$ 是正实数组成的无穷数列，且满足 $b_{n} = | b_{n + 1} - b_{n + 2} |$ ．

(1)、若 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 2$ ，写出数列 ${b_{n}}$ 前 $4$ 项的所有可能情况；

(2)、求证：数列 ${b_{n}}$ 存在无穷递增子列；

(3)、求证：对于任意实数 $M$ ，都存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $b_{k} > M$ ．

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{- 3^{x} + a}{3^{x + 1} + b}$ ．

(1)、当 $a = b = 1$ 时，求满足 $f (x) \geq 3^{x}$ 的 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，又是奇函数，求 $y = f (x)$ 的解析式，判断其在 $R$ 上的单调性并加以证明．

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31. 已知函数 $f (x) = x \ln x + m x^{2} + n x + 1$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $x + y - 1 = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、如果 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \cdot x_{2} > 1$ ．求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 0$ ．

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32. 已知函数 $f (x) = 3^{x}$ .

(1)、设 $y = f^{- 1} (x)$ 是 $y = f (x)$ 的反函数，若 $f^{- 1} (x_{1} x_{2}) = 1$ ，求 $f^{- 1} (x_{1}^{3}) + f^{- 1} (x_{2}^{3})$ 的值；

(2)、是否存在常数 $m \in R$ ，使得函数 $g (x) = 1 + \frac{m}{f (x) + 1}$ 为奇函数，若存在，求m的值，并证明此时 $g (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增，若不存在，请说明理由.

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33. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1} (x \in R)$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数；

(2)、已知函数 $f (x)$ 的图像存在对称中心 $(a ， b)$ 的充要条件是 $g (x) = f (x + a) - b$ 的图像关于原点中心对称，判断函数 $f (x)$ 的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [1 ， n]$ ，都存在 $x_{2} \in [1 ， \frac{3}{2}]$ 及实数 $m$ ，使得 $f (1 - m x_{1}) + f (x_{1} x_{2}) = 1$ ，求实数 $n$ 的最大值.

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34. 某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企业纳税额为 $x$ （单位：万元），补助款为 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - b x + b + \frac{1}{2}$ （单位：万元），其中 $b$ 为常数.

(1)、分别判断 $b = 0$ ， $b = 1$ 时， $f (x)$ 是否符合发放方案规定，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 符合发放方案规定，求 $b$ 的取值范围.

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35. 已知下表为函数

f (x) = a x^{3} + c x + d

部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01.

$x$	0.61	-0.59	-0.56	-0.35	0	0.26	0.42	1.57	3.27
$f (x)$	0.07	0.02	-0.03	-0.22	0	0.21	0.20	-10.04	-101.63

据表中数据，研究该函数的一些性质；

(1)、判断函数

f (x)

的奇偶性，并证明；

(2)、判断函数

f (x)

在区间[0.55，0.6]上是否存在零点，并说明理由；

(3)、判断

a

的正负，并证明函数

f (x)

在

(- \infty ， - 0.35]

上是单调递减函数.

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