【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的单调性及单调区间

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列函数中是增函数的为（）

A、 $f (x) ＝ - x$ B、 $f (x) ＝ {(\frac{2}{3})}^{x}$ C、 $f (x) ＝ x^{2}$ D、 $f (x) ＝ \sqrt[3]{x}$

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2. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、y=2^-x C、 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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3. 函数 $y = - x^{4} + x^{2} + 2$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）

A、[﹣2，2] B、[﹣1，1] C、[0，4] D、[1，3]

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5. 若函数 $g (x)$ 的周期为 $π$ ，其图象由函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到，则 $g (x)$ 的一个单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ B、 $[- \frac{4 π}{3} ， - \frac{π}{3}]$ C、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $[- \frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$

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6. 已知 $f (x) = c o s x + t a n x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 有对称轴 C、 $f (x)$ 有对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ ，（ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）的相邻两个对称中心距离为 $\frac{π}{2}$ 且图象经过 $M (\frac{π}{6} ， A)$ ，若将 $f (x)$ 图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的单调递减区间是（）

A、 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}]$ ， $k ∈ Z$ B、 $[k π + \frac{π}{3} ， k π + \frac{5 π}{6}]$ ， $k ∈ Z$ C、 $[k π ， k π + \frac{π}{2}]$ ， $k ∈ Z$ D、 $[k π + \frac{π}{4} ， k π + \frac{3}{4} π]$ ， $k ∈ Z$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $[1 + f (x)] f (x + 1) + 1 = 0$ ，且当 $x \in [1 ， 2)$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，则（）

A、 $f (0) = - \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 的一个周期为3 C、 $f (x)$ 在 $[2 ， \frac{5}{2})$ 上单调递增 D、 $\sum_{i = 1}^{2023} f (i) = - 1013$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且图象经过点 $D (0 ， \frac{1}{2})$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心 C、直线 $x = \frac{π}{6}$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴 D、函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] ， k \in Z$

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10. 已知对于每一对正实数 $x$ ， $y$ ，函数 $f (x)$ 满足： $f (x) + f (y) = f (x + y) - x y - 1$ ，若 $f (1) = 1$ ，则满足 $f (n) = n (n \in N_{+})$ 的 $n$ 的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 将函数 $f (x) = s i n ω x + a c o s ω x (a > 0 ， ω > 0)$ 图象上点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，然后将所得图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x) = 2 c o s (2 x + φ)$ 的图象.则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $g (x)$ 的图象有一条对称轴为 $x = - \frac{π}{12}$ C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{7 π}{6}] (k \in Z)$ D、函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{3} ， 2]$

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12. 如图所示，函数 $f (x) = \sqrt{3} t a n (2 x + φ)$ ， $(| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象与坐标轴分别交于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，且 $△ D E F$ 的面积为 $\frac{π}{4}$ ，以下结论正确的是（）

A、点 $D$ 的纵坐标为 $\sqrt{3}$ B、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 是 $f (x)$ 的一个单调递增区间 C、对任意 $k \in Z$ ，点 $(- \frac{π}{12} + \frac{k π}{4} ， 0)$ 都是 $f (x)$ 图象的对称中心 D、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{3} t a n x$ 图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

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13. 已知函数 $f (x) = | s i n (2 x - \frac{π}{3}) |$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $f (x)$ 的增区间为 $[\frac{k π}{2} + \frac{π}{6} ， \frac{k π}{2} + \frac{5 π}{12}]$ （ $k ∈ Z$ ）

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14. 下列区间中，函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x - c o s x$ 单调递增的区间是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， π)$ C、 $(π ， \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$

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二、填空题

15. 函数 $y = 2 c o s x$ 的严格减区间为.

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16. 请写出一个同时满足以下三个条件的函数： $f (x) =$ .
（1） $f (x)$ 是偶函数；（2） $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增；（3） $f (x)$ 的最小值是2.

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \leq a ， \\ x^{3} ， x > a . \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上不是增函数，则a的一个取值为.

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18. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) =$ .
①定义域为 $R$ ；②值域为 $(- \infty ， 1)$ ；③对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，均有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ .

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19. 已知函数 $f (x)$ 满足：当 $x \leq 1$ 时， $f (2 + x) = f (- 2 + x)$ ；当 $x \in (- 3 ， 1]$ 时， $f (x) = | x + 1 | - 2$ ；当 $x > 1$ 时， $f (x) = l o g_{a} (x - 1)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．若函数 $f (x)$ 的图象上关于原点对称的点至少有3对，有如下四个命题：① $f (x)$ 的值域为R．② $f (x)$ 为周期函数．③实数a的取值范围为 $(2 ， + \infty)$ ． ④ $f (x)$ 在区间 $[- 5 ， - 3]$ 上单调递减．其中所有真命题的序号是．

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20. 写出一个值域为 $(- \infty ， 1)$ ，在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增的函数 $f (x) =$ ．

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21. 请写出一个同时满足以下三个条件的函数 $f (x) ：$ （1） $f (x)$ 是偶函数；（2） $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减；（3） $f (x)$ 的值域是 $(1 ， + \infty)$ .则 $f (x) =$ .

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22. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ .

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23. 关于函数 $f (x) = 4^{x} + \sqrt{x} - 2$ 有如下四个命题：
①的定义域为 $[0 ， + \infty)$ ；② $f (x)$ 的最小值为-1；

③ $f (x)$ 存在单调递减区间；④ $\exists α \in (0 ， + \infty) ， f (\sin α) = 0$ ．

其中所有真命题的序号是．

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24. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $(x + \frac{1}{x}) (y + \frac{1}{y}) \geq {(\frac{x + y}{2} + \frac{2}{x + y})}^{2}$ ，则 ${(x + y)}^{2}$ 的最大值是．

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三、解答题

25. 设a∈R，已知函数f(x)= ${\begin{cases} a x^{2} + (2 a - 4) x + 2, x \leq 0, \\ \frac{1}{x} + a + | x - 1 |, x > 0 \end{cases}$
(Ⅰ)当a=1时，写出f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)对任意x≤2，不等式f(x)≥(a-1)x+2恒成立，求实数a的取值范围．

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26. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{1 + x}$ ， $g (x) = a s i n x - x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有唯一零点，求实数a的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = \frac{t a n x \cdot t a n 2 x}{t a n 2 x - t a n x} + \sqrt{3} (s i n^{2} x - c o s^{2} x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $x \in (0 ， \frac{π}{4}) ∪ (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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28. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 2) + l n a - 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2023$ 处取得极值，求 $a$ 的值及函数的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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29. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s^{2} x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ，求 $f (B) + f (C)$ 的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x}} (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意的 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $f (x) \geq k x$ 恒成立，求证： $k < \frac{2}{π e}$ ．

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31. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值是2，求a的值；

(3)、设t为常数，求函数 $g (x) = \frac{l n x - l n t}{x - t}$ 的单调区间．

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32. 已知 $a$ 为实数，函数 $f (x) = x | x - a | - a$ ， $x \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， 1)$ ， $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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33. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x ， a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、令 $a = 1$ ，记函数 $f (x)$ 图象上的极大值和极小值对应的点分别为M，N， $P (m ， f (m))$ 为位于M､N（不含M，N）之间的动点，若线段 $M P$ 与函 $f (x)$ 的图象存在异于M､P的公共点，求m的取值范围.

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34. 已知函数 $f (x) = e^{x - m} - l n (x + e) - e$ （e为自然对数的底数）．

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有且仅有两个零点，求实数m的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} (x > 0)$ ，写出函数 $g (x)$ 的单调递增区间并用定义证明.

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