【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：分段函数的解析式求法及其图象的作法1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4, x > 2 \\ | x - 3 | + a, x \leq 2, \end{array}$ 若 $f [f (\sqrt{6})] = 3$ ，则 $a =$ .

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2. 已知 $f (x) = | x - \frac{1}{x} | - | x + \frac{1}{x} | + 2$ ，则关于x的方程 $f^{2} (x) + b f (x) + c = 0$ 有6个互不相等的实数解的充要条件为．

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{| x |} ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = f^{2} (x) - 3 f (x) + 2$ 零点的个数是．

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4. 若定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减，且不等式 $x f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ ，则符合题意的一个函数解析式为 $f (x) =$ .

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5. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} ， x < 0 ， \\ e^{x} ， 0 \leq x \leq 1 ， \\ 3 - x ， x > 1 . \end{array}$ 若互不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) + x_{3} f (x_{3})$ 的取值范围是．

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6. 若分段函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 s i n 2 x & x \leq 0 \\ 2^{x} - 3 & x > 0 \end{array}$ ，将函数 $y = | f (x) - f (a) |$ ， $x \in [m ， n]$ 的最大值记作 $Z_{a} [m ， n]$ ，那么当 $- 2 \leq m \leq 2$ 时， $Z_{2} [m ， m + 4]$ 的取值范围是；

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足 $f (x - 1) = f (x + 1)$ ，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + b ， - 1 \leq x < 0 ， \\ | x - 1 | ， 0 \leq x \leq 1 . \end{array}$ 若 $f (3) = f (- 3)$ ，则实数 $b =$ ， $f (\frac{b}{2}) =$ .

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8. 已知定义在 $[0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{3} x ， 0 \leq x \leq 1 ， \\ - \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} ， 1 < x \leq 2 ， \end{array}$ $f (x)$ 图像与x轴的交点从左至右为O， $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， …， $B_{n}$ ， …； $f (x)$ 图像与直线 $y = \sqrt{3}$ 的交点从左至右为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{n}$ ， …．若 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， …， $C_{10}$ 为线段 $A_{8} B_{8}$ 上的10个不同的点，则 $\sum_{i = 1}^{10} (\vec{O A_{2}} \cdot \vec{O C_{i}}) =$ ．

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e l n x} ， x > 1 \\ x^{3} - 3 x + a ， x \leq 1 \end{array}$ ，若存在实数t使得函数 $y = {[f (x)]}^{2} - (t + 2) f (x) + 2 t$ 有7个不同的零点，则实数a的取值范围是．

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{3} x | ， 0 < x < 3 \\ s i n (\frac{π}{6} x) ， 3 \leq x \leq 15 \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ .满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} =$ ， $(x_{3} - 3) (x_{4} - 3)$ 的取值范围是.

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 0 \\ l n x ， x ＞ 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 且 $x_{1} ＜ x_{2}$ ，则 $x_{2} - 2 x_{1}$ 的最小值为.

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二、选择题

12. 函数 $f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x}$ 的图像为（）

A、 B、 C、 D、

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13. 已知函数 $y = f (x)$ 部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = x s i n 2 x$ B、 $f (x) = x s i n x$ C、 $f (x) = 2^{| x |} s i n x$ D、 $f (x) = 2^{| x |} s i n 2 x$

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x | l n x | ， x > 0 \\ - x e^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - | x^{2} - k x |$ 恰有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， - 1) \cup [1 ， + ∞)$

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15. 若函数 $f (x) = x - \frac{1}{| x |}$ ，则方程 $f^{2} (x) - f (x) - 6 = 0$ 的实根个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{x} ， x < 0 ， \\ | x - 2 | + a ， x \geq 0 . \end{array}$ 若 $f (x)$ 的图象上至少有两对点关于 $y$ 轴对称，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $[0 ， 1]$

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17. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 2 ， x \leq 0 \\ 1 + l n x ， x > 0 \end{array}$ ，若存在 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = m$ ，则下列结论正确的有（）

A、实数 $m$ 的取值范围为 $（ 1 ， 2]$ B、 $1 \leq x_{3} \leq e$ C、 $x_{1} + x_{2} = - 2$ D、 $x_{1} x_{2}$ 的最大值为 $1$

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} + 3 ， x < 1 \\ l o g_{3} x ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{3})) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} x | ， g (x) = {\begin{array}{l} 0 ， 0 < x \leq 1 \\ | x - 2 | - 0.5 ， x > 1 \end{array}$ ，则方程 $| f (x) - g (x) | = 1$ 的实根个数为（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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20. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{| x + 1 |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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21. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x + 1)}^{2} + 2 ， x < 1 ， \\ - 2 x ， x \geq 1 ， \end{array}$ 则不等式 $f (3) + f (| x | - 4) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 7 ， 7)$ D、 $(- \infty ， - 7) ∪ (7 ， + \infty)$

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22. 水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．某水车轮的半径为5米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗 $A$ 到达最高点时开始计时，设水车转动 $t$ （分钟）时水斗 $A$ 距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为 $f (t)$ （米），下列选项正确的是（）

A、 $f (t) = 5 c o s 4 π t + 4$ （ $t \geq 0$ ） B、 $f (t) = 5 s i n (π t + \frac{π}{2}) + 4$ （ $t \geq 0$ ） C、 $- \frac{1}{2}$ 是函数 $f (t)$ 的周期 D、在旋转一周的过程中，水斗 $A$ 距离水面高度不低于6.5米的时间为10秒．

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三、解答题

23. 已知 $f (x) = 2 | x - a | - a ， a > 0$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < x$

(2)、若 $y = f (x)$ 与坐标轴围成的面积为2，求a．

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24. 已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.

(1)、画出f（x）和y=g（x）的图像；

(2)、若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.

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25. 已知函数 $f (x) = | 3 x + 1 | - 2 | x - 1 |$ ．

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图像；

(2)、求不等式 $f (x) > f (x + 1)$ 的解集．

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26. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | + | x - 1 | - 4$ 的最小值为m．

(1)、在直角坐标系中画出 $y = f (x)$ 的图象，并求出m的值；

(2)、a，b，c均为正数，且 $a + b + c = - m + 1$ ，求 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a}$ 的最小值．

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27. 已知函数 $f (x) = | 3 x - a | + | x + 1 |$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求不等式 $f (x) \leq 6 x$ 的解集；

(2)、若 $a > \frac{3}{2}$ 时，函数 $f (x)$ 的图像与直线 $y = a$ 所围成图形的面积为 $\frac{1}{24}$ ，求实数 $a$ 的值．

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28. 已知函数 $f (x) = 3 | x + 2 | - | x - 4 |$

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in R$ .不等式 $f (x) \geq k (x - 4)$ 恒成立，求实数k的取值范围

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29. 已知 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 3 |$ 的最小值为m．

(1)、求m；

(2)、若a、b都为正实数，且 $a + b = m$ ，证明： $a^{3} + b^{3} \geq 16$ ．

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30. 已知函数： $f (x) = | 2 x + 6 | + | 2 x - 4 | - 11$ ， $g (x) = - | x - 1 |$ .

(1)、请在图中画出 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象；

(2)、若 $g (x + t) \leq f (x)$ 恒成立，求t的取值范围.

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31. 已知函数： $f (x) = | 2 x + 6 | + | 2 x - 4 | - 11$ ， $g (x) = - | x - 1 |$ .

(1)、请在图中画出 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象；

(2)、若 $g (x + t) \leq f (x)$ 恒成立，求t的取值范围.

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32. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 2 | - | x - 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 5$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 2 | x - a |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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33. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 4 | - | x - 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $\exists x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) - a x_{0} + 4 = 0$ ，求实数a的取值范围．

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34. 已知函数 $f (x) = | a x - 2 | + | 2 x + a | (a \geq 2)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) \leq \frac{1}{2} a + 3$ ，求 $a$ 的取值范围.

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35. 已知 $f (x) = 2 | x - 1 | + | x - 2 | - a$ ，若 $f (x) \geq 0$ 在R上恒成立.

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、设实数a的最大值为m，若正数b，c满足 $\frac{1}{c} + \frac{2}{b} = m$ ，求bc+c+2b的最小值.

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