【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的表示方法

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 某棵果树前n年的总产量S_n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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2. 存在函数 $f (x)$ 满足对任意 $x \in R$ ，都有 $f (g (x)) = x$ ，给出下列四个函数：① $g (x) = c o s x$ ， ② $g (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{array}$ ， ③ $g (x) = x^{3} - x$ ， ④ $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ ．所以函数 $g (x)$ 不可能为（）

A、①③ B、①② C、①③④ D、①②④

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3. 若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别由下表给出：
$x$
1
0
$- 1$
$f (x)$
$- 1$
0
1
$x$
3
2
1
$g (x)$
$- 1$
1
0
则不等式 $f [g (x)] \leq 0$ 的解集为（）

A、 ${3}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， 2}$

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4. 若函数 $f (x^{3} - 1) = x^{2} - | x | + 2$ ，则 $f (7) =$ （）

A、44 B、8 C、4 D、2

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5. 若函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x^{2} + 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = - x^{3} - x^{2} - 1$ B、 $f (x) = - x^{3} + x^{2} + 1$ C、 $f (x) = x^{3} - x^{2} + 1$ D、 $f (x) = x^{3} - x^{2} - 1$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x - 3 ， x < 0 \\ f (x - 2) ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、3 B、－3 C、－1 D、1

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7. 对于实数 $R$ 的任意子集U，我们在 $R$ 上定义函数 $f_{U} (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x ∈ U \\ 0 ， x ∉ U \end{array}$ ，如果A，B是实数 $R$ 的两个子集，则任意 $， f_{A} (x) + f_{B} (x) = 1$ 恒成立是A，B互为补集的（）

A、充分必要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分又不必要条件

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8. 给出函数f（x），g（x）如表，则 $f [g (2)] =$ （）

x

1

2

3

4

f（x）

4

3

2

1

x

1

2

3

4

g（x）

1

1

3

3

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，A，B，C是函数 $y = f (x)$ 的图象上的三点，其中A $(1 ， 3)$ ，B $(2 ， 1)$ ，C $(3 ， 2)$ ，则 $f [f (3)]$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：

运送距离x(km)

0<x

≤500

500<x

≤1 000

1 000<x

≤1 500

…

邮资y(元)

5.00

6.00

7.00

…

如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是（）

A、5.00元 B、6.00元 C、7.00元 D、无法确定

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11. 符号 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[π] = 3$ ， $[- 1.08] = - 2$ ，定义函数 $h (x) = [x] - x$ ，那么下列说法正确的个数是（）
函数 $h (x)$ 的定义域为 R ，值域为 ( -1, 0] ②方程 $h (x) = - \frac{1}{2}$ 有无数多个解③对任意的 $x \in R$ ，都有 $h (x + 1) = h (x)$ 成立④函数 $h (x)$ 是单调减函数

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

12. 已知函数 $f (x)$ 按下表给出，满足 $f (f (x)) > f (3)$ 的 $x$ 的值为．

$x$

1

2

3

$f (x)$

2

3

1

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13. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为.

x

1

2

3

4

f(x)

1

3

1

3

g(x)

3

2

3

2

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14. 已知函数 $f (x)$ 的对应关系如下表所示，则 $f (f (4)) =$ .

$x$

1

2

3

4

5

$f (x)$

5

4

3

1

2

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15. 已知二次函数 $f (x)$ 满足下表所给对应关系：

$x$

1

2

4

$f (x)$

0

$- 1$

0

则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为.

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16. 某工厂8年来某产品总产量y与时间t年的函数关系如下图，则：

① 前3年总产量增长速度增长速度越来越快；

② 前3年中总产量增长速度越来越慢；

③第3年后，这种产品停止生产；

④第3年后，这种产品年产量保持不变.

以上说法中正确的是.

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17. 函数 $y = f (x)$ 由下表给出，集合 $A = {x | y = f (x)}$ ， $B = {y | y = f (x)}$ ，则 $A \cup B$ 中所有元素之和为

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18. 已知函数 $f (\sqrt{x} + 1) = x - 4$ ，则 $f (x)$ 的解析式为.

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19. 已知函数 $f (x)$ 为一次函数，且 $f (2) = - 1$ ，若 $f [f (x)] = 4 x - 3$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为．

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20. 已知 $f (x - 1) = x^{2} ，$ 则 $f (x^{2}) =$

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21. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} ， x \geq 3 ， \\ f (x + 1) ， x < 3 \end{matrix}$ 则 $f (\log_{2} 6)$ 的值为．

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三、解答题

22. 已知点 $B (\frac{1}{4} ， 2)$ 在幂函数 $f (x) = x^{m} (m \neq 0)$ 的图像上，对任意的实数x，定义 ${x} = x - [x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数．

(1)、求 $f (4)$ 的值；

(2)、求函数 $G (x) = {{(\frac{1}{f (x)})}^{2}} + {- {(\frac{1}{f (x)})}^{2}}$ 的值域．

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23. 若函数 $f (x)$ 如下表所示：

$x$

0

1

2

3

$f (x)$

2

2

1

0

(1)、求 $f (f (1))$ 的值；

(2)、若 $f (f (x)) = 1$ ，求 $x$ 的值．

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24. 已知函数 $f (x) = \max {- x - \frac{1}{2} ， 2^{x}}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq 1 ， \\ x + \frac{1}{x} ， x > 1 ， \end{array}$

x

-2

-1

0

1

2

$g (x)$

(1)、填写表格后描点，并画出 $y = g (x)$ 的图象；

(2)、写出 $g (x)$ 的最小值，以及不等式 $g (x) - 2 > 0$ 的解集.

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25. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在区间 $[a ， b] \subseteq D$ ，使得 ${y | y = f (x) ， x \in [a ， b]} = [a ， b]$ ，则称区间 $[a ， b]$ 为函数 $y = f (x)$ 的“和谐区间”.

(1)、请直接写出函数 $f (x) = x^{3}$ 的所有的“和谐区间”；

(2)、若 $[0 ， m] (m > 0)$ 为函数 $f (x) = | \frac{3}{2} x - 1 |$ 的一个“和谐区间”，求 $m$ 的值；

(3)、求函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 的所有的“和谐区间”.

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26. 已知函数g(x)＝ $\frac{x + 2}{x - 6}$ ，

(1)、点(3，14)在函数的图象上吗？

(2)、当x＝4时，求g(x)的值；

(3)、当g(x)＝2时，求x的值.

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27. 海康威视数字技术股份有限公司在习主席“企业持续发展之基、市场制胜之道在于创新”的号召下，研制出了一种新产品。该公司试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．

(1)、分别写出国外市场的日销售量 $f (t)$ 与上市时间 $t$ 的关系及国内市场的日销售量 $g (t)$ 与上市时间 $t$ 的关系；

(2)、该产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？

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28. 甲、乙两地相距500千米，一辆货车从甲地行驶到乙地，规定速度不得超过100千米 $/$ 小时.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 $v$ (千米 $/$ 时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为 $a$ 元（ $a > 0$ ）.

(1)、把全程运输成本 $y$ (元)表示为速度 $v$ (千米 $/$ 时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)、为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

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29. 已知函数f(x)= $\sqrt{x + 3}$ + $\frac{1}{x + 2}$ .

(1)、求函数f(x)的定义域;

(2)、求 $f (- 3), f (\frac{2}{3})$ 的值;

(3)、当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.

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30. 里约热内卢奥运会正在如火如荼的进行，奥运会纪念品销售火爆，已知某种纪念品的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）件该纪念品需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）．

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31. 已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实数根．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、当x∈[1，2]时，求f（x）的值域；

(3)、若F（x）=f（x）﹣f（﹣x）+ $\frac{m}{x^{2}}$ ，试判断F（x）的奇偶性，并说明理由．

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$x$	1	0	$- 1$
$f (x)$	$- 1$	0	1
$x$	3	2	1
$g (x)$	$- 1$	1	0

x	1	2	3	4
f（x）	4	3	2	1

x	1	2	3	4
g（x）	1	1	3	3

$x$	1	2	3
$f (x)$	2	3	1