【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：区间与无穷的概念

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 区间 $(0 ， 1]$ 等于（）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${(0 ， 1]}$ C、 ${x | 0 < x \leq 1}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$

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2. 若实数 $x$ 满足 ${x | 3 \leq x < 7}$ ，则用区间表示为（）

A、 $(3, 7)$ B、 $(3, 7]$ C、 $[3, 7]$ D、 $[3, 7)$

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3. 集合 ${x | 1 < x < 5}$ 可用区间表示为（）

A、 $(1, 5)$ B、 $[1, 5]$ C、 $[1, 5)$ D、 $(1, 5]$

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4. 把区间[a，b]（a＜b）n等分后，第i个小区间是（）

A、 $[\frac{i - 1}{n} ， \frac{i}{n}]$ B、 $[\frac{i - 1}{n} (b - a) ， \frac{i}{n} (b - a)]$ C、 $[a + \frac{i - 1}{n} ， a + \frac{i}{n}]$ D、 $[a + \frac{i - 1}{n} (b - a) ， a + \frac{i}{n} (b - a)]$

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5. 设“x为不小于0的实数”用区间可表示为（）

A、（0，+∞） B、[0，+∞） C、（﹣∞，0） D、（﹣∞，0]

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6. 用区间表示0＜x≤5正确的是（）

A、（0，5） B、（﹣∞，5] C、（5，+∞） D、（0，5]

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7. 已知区间[﹣a，2a+1），则实数的a的取值范围是（）

A、R B、[﹣ $\frac{1}{3}$ ，+∞） C、（﹣ $\frac{1}{3}$ ，+∞） D、（﹣∞，﹣ $\frac{1}{3}$ ）

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8. 下列各区间的数轴表示中，正确的是（）

A、[﹣2，+∞） B、（﹣∞，2） C、（﹣1，2） D、[﹣1，+∞）

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9. 下列关于函数与区间的说法正确的是（　　）

A、函数的定义域必不是空集，但值域可以是空集 B、函数的定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了 C、数集都能用区间表示 D、函数的一个函数值可以有多个自变量值与之对应

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10. 解集{x|x≤1}用区间表示为（　　）

A、[﹣∞，1] B、（﹣∞，1] C、[1，+∞） D、[1，+∞]

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二、填空题

11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则不等式 $f (x) > x$ 的解集用区间表示为．

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12. 设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图像如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为．

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13. 将下列集合用区间表示出来：

(1)、 ${x | x \geq 1}$ ＝；

(2)、 ${x | 2 \leq x \leq 8}$ ＝；

(3)、 ${y | y = \frac{1}{x}}$ ＝.

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14. 定义区间[x₁ ， x₂]的长度为x₂﹣x₁ ，已知函数f（x）=3^|^x^|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]的长度的最大值为，最小值为．

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15. 用区间表示下列集合：
{x|2≤x≤5}；{x|x＜3}；{x|x＞2}；
{x|0≤x＜1}；{x|1＜x＜8}；{x|x＜2或x≥3} ．

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16. 定义：区间[a，b]（ a＜b）的长度为b﹣a．已知函数y=|log_0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大是．

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17. {x|x＞3}用区间表示为， {x|﹣2≤x≤5}用区间表示为， {x|﹣2≤x＜5}用区间表示为．

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18. 用区间表示{x|x＜0或x≥1}= ．

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19. 定义区间（a，d），[a，d），（a，d]，[a，d]的长度为d﹣a（d＞a），已知a＞b，则满足 $\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} \geq 1$ 的x构成的区间的长度之和为．

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20. 用区间表示下列集合：
{x|x＞﹣1}=；
{x|2＜x≤5}=；
{x|x≤﹣3}=；
{x|2≤x≤4}=；
{x|﹣3≤x＜0，或2≤x＜4}= ．

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三、解答题

21. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，若存在区间 $[a ， b] \subseteq D$ 使得函数 $y = f (x)$ 满足：
①函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上是严格增函数或严格减函数；
②函数 $y = f (x)$ ， $x \in [a ， b]$ 的值域是 $[n a ， n b]$ $(n \in Z 且 n \geq 2)$ ，
则称区间 $[a ， b]$ 为函数 $y = f (x)$ 的“n倍区间”.

(1)、判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）；
① $y = 1 - x$ ； ② $y = x^{2} + \frac{1}{2}$ ；

(2)、证明：函数 $y = x^{- 2}$ 不存在“n倍区间”；

(3)、证明：当有理数 $m$ 满足 $m \in (0 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$ 时，对于任意n $(n \in Z 且 n \geq 2)$ ，函数 $y = x^{m}$ 都存在“n倍区间”，并求函数 $y = x^{3}$ 和 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 所有的“10倍区间”.

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22. 区间 $[α, β]$ 的长度定义为 $β - α$ .函数 $f (x) = (1 + a^{2}) x^{2} - a x$ ，其中 $a > 0$ ，区间 $I = {x | f (x) \leq 0}$ .

(1)、求 $I$ 的长度；

(2)、求 $I$ 的长度的最大值.

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23. 已知 $y = f (x)$ （ $x \in D$ ， $D$ 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数 $f (x)$ 在 $D$ 内单调递增或单调递减；②如果存在区间 $[a ， b] \subseteq D$ ，使函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的值域为 $[a ， b]$ ，那么称 $y = f (x)$ ， $x \in D$ 为闭函数；
请解答以下问题：

(1)、求闭函数 $y = - x^{3}$ 符合条件②的区间 $[a ， b]$ ；

(2)、判断函数 $f (x) = \frac{3}{4} x + \frac{1}{x} (x \in (0 ， + \infty))$ 是否为闭函数？并说明理由；

(3)、若 $y = k + \sqrt{x} (k < 0)$ 是闭函数，求实数 $k$ 的取值范围；

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24. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域为集合 $A$ ， $g (x) = x^{2} + 1$ 的值域为集合 $B$ 。

(1)、用区间表示集合 $A$ 和集合 $B$ ;

(2)、求 $A \cup B$ .

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25. 对于定义域为I的函数，若果存在区间 $[m ， n] \subseteq I$ ，同时满足下列条件：① $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上是单调的；②当定义域是 $[m ， n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m ， n]$ .则称 $[m ， n]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“优美区间”.

(1)、证明：函数 $y = 3 - \frac{4}{x} (x > 0)$ 不存在“优美区间”.

(2)、已知函数 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 在 $R$ 上存在“优美区间”，请求出他的“优美区间”.

(3)、如果 $[m ， n]$ 是函数 $y = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \neq 0)$ 的一个“优美区间”，求 $n - m$ 的最大值.

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26. 设x→x₀时，|g（x）|≥M（M是一个正的常数），f（x）是无穷大．证明：f（x）g（x）是无穷大．

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27. 填空题

(1)、{x|x＞2}的区间形式为

(2)、{x|x≤﹣5}的区间形式为

(3)、{x|x＜0或x＞6}区间形式为．

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28. 分别用区间，数轴把下列数值的范围表示出来：

(1)、﹣3＜x＜﹣1

(2)、- $\frac{2}{3}$ ≤x≤0

(3)、x≥﹣4

(4)、x＜2

(5)、1＜x≤3.5

(6)、x≥0

(7)、x＜0．

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29. 将下列集合用区间表示出来

(1)、{x|2x﹣1≥0}；

(2)、{x|x＜﹣4或﹣1＜x≤2}．

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30. 综合题.

(1)、{x|x＞2}的区间形式为

(2)、{x|x≤﹣5}的区间形式为

(3)、{x|x＜0或x＞6}区间形式为．

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