【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的图象与图象变化

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{4} ， g (x) = \sin x$ ，则图象为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x) - \frac{1}{4}$ B、 $y = f (x) - g (x) - \frac{1}{4}$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设D是含数1的有限实数集， $f （ x ）$ 是定义在D上的函数，若 $f （ x ）$ 的图像绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{6}$ 后与原图像重合，则在以下各项中， $f （ 1 ）$ 的可能取值只能是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、0

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5. 已知函数 $f (x) = - x^{4} + 2 a x^{2} + (a - 1) x$ 为偶函数，则 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f_{1} (x) = - x^{2} + 1 ， x \in [- 1 ， 1)$ ，记一次完整的图形变换为“T变换”，“T变换”的规则为：将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向上平移1个单位， $f_{1} (x)$ 的图象经历一次“T变换”得到 $f_{2} (x)$ 的图象，依此类推，经历 $n - 1$ 次“T变换”后，得到 $f_{n} (x)$ 的图象，则（）

A、 $f_{2} (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} ， x \in [1 ， 3)$ B、若 $f_{i} (x) \leq k (x + 2) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n$ ，则 $k \geq \frac{1}{2}$ C、当 $n \geq 2$ 时，函数 $f_{1} (x) ， f_{2} (x) ， ⋯ ， f_{n} (x)$ 的极大值之和小于 $2 n - 1$ D、 $f_{n} (x) < 2$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1} - 1 0^{x} (x > 1)$ ， $g (x) = \frac{x}{x - 1} - l g x (x > 1)$ 的零点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} = 2 l g x_{2}$ B、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ C、 $x_{1} + x_{2} > 4$ D、 $x_{1} x_{2} < 10$

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8. 将函数 $y = \frac{x - 3}{x - 2}$ 的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数 $f (x)$ ，则函数 $f (x)$ 的图象与函数 $y = 2 s i n π x (- 4 \leq x \leq 6)$ 图象所有交点的横坐标之和等于（）

A、12 B、4 C、6 D、8

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9. 将函数 $y = \cos 2 x$ 的图象向左平移 $φ$ （ $φ > 0$ ）个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 是奇函数，则 $φ$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{5 π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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10. 如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设 $∠ P A B = θ (0 < θ < π)$ ， AP扫过的圆内阴影部分的面积S是 $θ$ 的函数.这个函数的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) ， \forall m ， n \in (0 ， + \infty) ， f (m n) = f (m) + f (n)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x - 2)$ 有三个零点 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上为减函数 D、不等式 $x f (x - 2) < 0$ 的解集是 $(- \infty ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$

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12. 要得到函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{2 x}$ 的图象，只需将函数 $y = 4^{1 - x}$ 的图象（）

A、向左平移1个单位 B、向右平移1个单位 C、向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{1}{2}$ 个单位

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | ， x \leq 2 \\ l o g_{\frac{1}{2}} (x - \frac{3}{2}) ， x > 2 \end{array}$ ，若 $f (x + a) \geq f (x)$ 恒成立．则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、2 B、 $- 3$ C、 $- \frac{9}{4}$ D、 $- 1$

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二、填空题

14. 已知常数 $a$ >0，函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + a x}$ 的图像经过点 $p (p ， \frac{6}{5})$ 、 $Q (q ， - \frac{1}{5})$ ，若 $2^{p + q} = 36 p q$ ，则 $a$ =

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15.
三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A_i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B_i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
①记Q_i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q₁ ， Q₂ ， Q₃中最大的是．
②记p_i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p₁ ， p₂ ， p₃中最大的是．

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16. 函数 $y = \frac{2 x}{x - 1}$ 图像的对称中心的坐标为．

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17. 函数 $y = l o g_{a} (x - 2) + 3 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像恒过一定点．

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18. 已知函数 $g (x)$ 的图象与函数 $f (x) = x^{2} (x \in [0 ， + \infty))$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，将函数 $g (x)$ 图象右移2个单位，下移2个单位得到函数 $h (x)$ 的图象，若 $P$ ， $Q$ 分别为函数 $f (x)$ ， $h (x)$ 图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为.

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19. 已知函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 3 ， 3]$ ， $f (x)$ 的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与 $f (x)$ 的图象重合，写出符合上述条件的一个函数 $f (x)$ 的解析式：.

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20. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \ln x$ ，且 $f (x)$ 关于直线 $x = 1$ 对称，设 $f (x) = x + 1$ 的正数解依次为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ 、 $x_{n}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ ，则 $\lim_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_{n}) =$

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21. 函数 $f (x) = \frac{3 x + 4}{2 x - 1}$ 的对称中心是.

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22. 函数 $y = {(x + 1)}^{- 2}$ 的递增区间是．

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23. 若直线 $y = 2 a$ 与函数 $y = | a^{x} - 1 | (a > 0 ，且 a \neq 1)$ 的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是.

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24. 已知函数 $f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x - 1} - 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， - 1)$ 处的切线方程是．

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三、解答题

25. 已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.

(1)、画出f（x）和y=g（x）的图像；

(2)、若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.

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26. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - 2 |$ ．

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求不等式 $f (x + 2) > f (x)$ 的解集．

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27. 已知函数 $y = 1 - \frac{1}{x + 2}$ 的图象按向量 $\vec{n} = (2 ， 1)$ 平移后得到 $f (x)$ 的图象，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = f (a_{n - 1})$ （ $n ∈ N^{∗}$ 且 $n \geq 2$ ）.

(1)、若 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 1}$ ，证明： ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，试判断 ${a_{n}}$ 中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由.

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28. 已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = x + l n (\frac{1 + x}{1 - x})$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图像，

(1)、判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、求函数 $y = g (x)$ 的表达式，并求 $g (x) + g (2 - x)$ 的值；

(3)、若不等式 $g (a^{2}) + g (2 b^{2} + 1) \leq 4$ 恒成立，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？

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29. 已知 $x_{0} ， x_{0} + \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x) = c o s^{2} (ω x - \frac{π}{6}) - s i n^{2} (ω x) + \frac{5}{4} (ω > 0)$ 的两个相邻的对称中心的点的横坐标.

(1)、求 $f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、若对任意 $x \in [- \frac{5 π}{12} ， 0]$ ，都有 $f (x) ⩽ m^{2} - m$ ，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $2 \sqrt{3} [f (x) - \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{3}}{3}] - m = 0$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上有两个不同的根，求 $m$ 的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

(1)、利用函数单调性定义证明 $f (x) = - \frac{2}{x + 1}$ 在区间 $(- 1 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、请利用（1）的结论，说出 $f (x) = - \frac{2}{x + 1}$ 在区间 $(- \infty ， - 1)$ 上的单调性（不用证明）；

(3)、利用本题中（1）（2）得到的结论，求函数 $f (x) = - \frac{2}{x + 1}$ 在区间 $(- 5 ， - 2)$ 上的值域.

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31. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + ϕ) (0 < ϕ < π)$ .其图象的一个对称中心是 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， t]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < g (x_{1}) - g (x_{2})$ ，求实数 $t_{}$ 的最大值.

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32. 已知函数 $h (x) = \sqrt{3} s i n^{4} \frac{x}{2} + 2 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} - \sqrt{3} c o s^{4} \frac{x}{2}$ .

(1)、若先将函数 $h (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将之向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $f (x)$ 图象，求函数 $f (x)$ 的解析式

(2)、设 $g (x) = 3 - 2 m + m c o s (2 x - \frac{π}{6}) (m \neq 0)$ ，则是否存在实数 $m$ ，满足对于任意 $x_{1} \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，都存在 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立?如果存在，请求出实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明你的理由.

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33. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} - 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 是奇函数， $a \in R$ .

(1)、求 $a$ 的值，并求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > \frac{3}{5}$ 的解集；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 图象的对称中心.

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34. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，已知 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

(1)、画出偶函数 $f (x)$ 的图像；

(2)、指出函数 $f (x)$ 的单调递增区间及值域；

(3)、若直线 $y = k (k \in R)$ 与函数 $f (x)$ 恰有 $4$ 个交点，求 $k$ 的取值范围.

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35. 已知函数 $g (x)$ 的图像由 $f (x) = x^{2}$ 向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到.

(1)、求 $g (x)$ 的解析式，并求函数 $y = 2^{g (x)}$ 的最小值.

(2)、解方程 $\lg [g (x)] = \lg [2 f (x) - 3]$ .

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