【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：同一函数的判定

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列说法中正确为（）

A、不论 $a$ 取何实数，命题 $p ：$ “ $\exists x > 0$ ， $- x^{2} + 2 a x + 2 > 0$ ”为真命题 B、若关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - 6 k x + k + 8 \geq 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为 $0 < k \leq 1$ C、设集合 $M = {1 ， 2}$ ， $N = {a^{2}}$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $N \subseteq M$ ”的充分不必要条件 D、函数 $f (x) = | x |$ 与函数 $g (x) = (\sqrt{x})^{2}$ 是同一个函数

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2. 下列函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ 与 $y = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $y = x - 3$ 与 $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$ C、 $y = \frac{| x |}{x}$ 与 $y = \{\begin{cases} - 1 (x \geq 0) \\ 1 (x < 0) \end{cases}$ D、 $y = x^{2}$ 与 $S = a^{2}$

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3. 在下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x - 1 ， g (x) = {(\sqrt{x - 1})}^{2}$ B、 $f (x) = | x - 3 | ， g (x) = \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = ln 10^{x}$ D、 $f (x) = \sqrt{(x - 1) (x - 3)} ， g (x) = \sqrt{x - 1} . \sqrt{x - 3}$

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4. 下列选项中的函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} ， g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = x^{2} - x + 1 ， g (t) = {(t - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ C、 $f (x) = x^{0} ， g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{{(x - 2)}^{2}}} ， g (x) = \frac{1}{x - 2}$

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5. 下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{3} (x \geq 0)$ ， $g (x) = x^{3} (x \in N)$ B、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ ， $g (x) = | x |$ C、 $f (x) = e^{l n (x + 1)}$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ D、 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ， $g (x) = 2 - \frac{1}{x + 1}$

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6. 下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（　　）

A、y＝|x| B、 $y = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $y = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$

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7. 下列四组函数，表示同一个函数的一组是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2}}$ ， $y = (\sqrt{x})^{2}$ B、 $y = l g 1 0^{x}$ ， $y = 1 0^{l g x}$ C、 $y = s i n | x |$ ， $y = | s i n x |$ D、 $y = x$ ， $y = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$

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8. 下列说法正确的是（）

A、命题 $p ： \forall x > 0 ， x^{3} > 0$ 的否定为： $\exists x > 0 ， x^{3} \leq 0$ . B、 $f (x) = l g x^{2}$ 与 $g (x) = 2 l g x$ 为同一函数 C、若幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (9) = 2$ D、函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = l o g_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称

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9. 下列命题中的真命题是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x + 1} > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $l n x_{0} < 1$ C、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ 是相同函数 D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2

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10. 下列哪个函数的定义域与函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的值域相同（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $y = l n x - x$

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11. 将函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ 图像上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x)$ 图像的一个对称中心为 $(\frac{7}{12} π ， 0)$ C、 $g (x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{π}{3} + k π ， \frac{5 π}{6} + k π] (k \in Z)$ D、 $g (x)$ 的图像与函数 $y = - s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像重合

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12. 对于函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，下列结论正确的是（）

A、图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、与函数 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 相等 D、在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 的最大值为2

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13. 已知两个函数 $f (x) = tan \frac{x}{2}$ 和 $g (x) = \frac{1 - cos x}{sin x}$ ，下列说法正确的是（）

A、两个函数的定义域相同 B、两个函数都是奇函数 C、两个函数的周期相同 D、两个函数的值域相同

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二、填空题

14. 能说明命题“如果函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的对应关系和值域都相同，那么函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是同一函数”为假命题的一组函数可以是 $f (x) =$ ， $g (x) =$ ．

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15. 给出以下四个命题：
①若集合A={x ， y}，B={0，x²}，A=B ，则x=1，y=0；

②函数 $y = x - 3$ 与 $y = \frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 为同一个函数；

③已知 $y = f (x)$ 在定义域 $(0 ， 1)$ 上是减函数，且 $f (1 - a) > f (2 a - 1)$ ，则 $a > \frac{2}{3}$

④已知 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} - a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{matrix}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数，则a的取值范围是 $[- 3 ， - 2]$ .

其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)

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16. 下列函数 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ ； $y = \frac{x^{2}}{x}$ ； $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ ； $y = \sqrt{x^{2}}$ 与函数 $y = x$ 是同一函数的是.

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17. 下列各组函数中，为同一函数的序号是.
⑴ $f (x) = x - 3$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$ ；

⑵ $f (x) = | x - 1 |$ 与 $g (t) = \sqrt{t^{2} - 2 t + 1}$ ；

⑶ $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ 与 $g (x) = x - 2$ .

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18. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域相同，值域也相同，但不是同一个函数，则满足上述条件的一组 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式可以为.

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19. 给出下列四个命题：
① 函数 $y = \sqrt{x^{2}}$ 与函数 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ 表示同一个函数．

② 奇函数的图象一定过直角坐标系的坐标原点．

③ 函数 $y = {(x + 2)}^{2}$ 的图象可由 $y = x^{2}$ 的图象向左平移 $2$ 个单位长度得到．

④ 若函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ．

其中正确命题的序号是 (填上所有正确命题的序号) ．

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20. 下列结论中: ①对于定义在R上的奇函数,总有 $f (0) = 0$ ；
②若 $f (3) = f (- 3)$ 则函数 $f (x)$ 不是奇函数；

③对应法则和值域相同的两个函数的定义域也相同；

其中正确的是(把你认为正确的序号全写上).

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21. 已知下列四个说法中：
① $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示同一函数；②已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1, 1)$ ，则 $f (1 - 2 x)$ 的定义域为 $(0, 1)$ ；③不等式 $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x - 4 < 0$ 对于 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 $(- 2, 2)$ ；④对于集合 $A = {x | x^{2} - 2 a x + 4 a - 3 = 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 \sqrt{2} x + a^{2} + a + 2 = 0}$ ，若 $A \cup B \neq \emptyset$ ，则a的取值范围 $(- \infty, 1] \cup [3, + \infty)$ ，其中正确说法的序号是．

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22. 下列各组函数中，表示相同函数的是① $y = x$ 与 $y = \sqrt{x^{2}}$ ② $y = x$ 与 $y = \frac{x^{2}}{x}$ ③ $y = x$ 与 $y = t$ ④ $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$

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23. 下列各组函数中，表示同一函数的是：；

①y=1，y= $\frac{x}{x}$
②y= $\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1} ， y = \sqrt{x^{2} - 1}$
③y=x，y= $\sqrt[3]{x^{3}}$
④y=|x|， $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ ．

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三、解答题

24. 判断下列各组函数是否为相等函数：
⑴f（x）= $\frac{(x + 3) (x - 5)}{x + 3}$ ，g（x）=x﹣5；

⑵f（x）=2x+1（x∈Z），g（x）=2x+1（x∈R）；

⑶f（x）=|x+1|，g（x）= ${\begin{matrix} x + 1 ， x \geq - 1 \\ - x - 1 ， x < - 1 \end{matrix}$ ．

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25. 已知函数f（x）= $\frac{3^{x} - 2^{- x}}{3^{x} + 2^{- x}}$ ．

(1)、判断f（x）的单调性，并证明；

(2)、写出f（x）的值域．

(3)、若g（x）= ${\begin{matrix} f (x) ， x > 0 \\ 2 a x + a - 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ 为R上的增函数，写出实数a的取值范围．

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26. 函数y= $\frac{1}{2}$ ln $\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ 与y=lntan $\frac{x}{2}$ 是同一函数，判断对与否，如果对，请证明．

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27. 判断下列函数是否相等，并说明理由：
表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t﹣5t²和二次函数y=130x﹣5x² ．

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28. 判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由．
（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t﹣5t²和二次函数y=130x﹣5x²；
（2）f（x）=1和g（x）=x⁰ ．

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29. 判断函数f（x）和g（x）是不是同一个函数：f（x）=ln $\sqrt{x - 1}$ ， g（x）= $\frac{1}{2}$ ln（x﹣1）．

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30. 判断下列各组中两个函数是否为同一函数．
（1）f（x）=x²+2x﹣1，g（x）=t²+2t﹣1；
（2）f（x）= $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ， g（x）=x+1；
（3）f（x）= $\sqrt{x}$ • $\sqrt{x + 1}$ ， g（x）= $\sqrt{x^{2} + x}$ ；
（4）f（x）=|3﹣x|+1，g（x）= $\{\begin{matrix} x - 2 ， x \geq 3 \\ - x + 4 ， x < 3 \end{matrix}$ ．

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