【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的概念及其构成要素

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知符号函数 $s g n x = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ，偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x$ ，则（）

A、 $s g n [f (x)] > 0$ B、 $f (\frac{2021}{2}) = 1$ C、 $s g n [f (2 k + 1)] = 1 (k \in Z)$ D、 $s g n [f (k)] = | s g n k | (k \in Z)$

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2. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果对 $D$ 中的任意一个 $x$ ，都有 $f (x) > 0 ， - x \in D$ ，且 $f (- x) f (x) = 1$ ，则称函数 $f (x)$ 为“类奇函数”．若某函数 $g (x)$ 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）

A、若0在 $g (x)$ 定义域中，则 $g (0) = 1$ B、若 $g {(x)}_{m a x} = g (4) = 4$ ，则 $g {(x)}_{m i n} = g (- 4) = \frac{1}{4}$ C、若 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则 $g (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减 D、若 $g (x)$ 定义域为 $R$ ，且函数 $h (x)$ 也是定义域为 $R$ 的“类奇函数”，则函数 $G (x) = g (x) h (x)$ 也是“类奇函数”

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3. 若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在两个不同的点P，Q，使得 $f (x)$ 在这两点处的切线重合，则称函数 $y = f (x)$ 为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（）

A、 $y = s i n x + c o s x$ B、 $y = s i n (c o s x)$ C、 $y = x + s i n x$ D、 $y = x^{2} + s i n x$

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4. 存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x ∈ R$ 都有（）

A、 $f (| x |) = x^{3}$ B、 $f (s i n x) = x^{2}$ C、 $f (x^{2} + 2 x) = | x |$ D、 $f (| x |) = x^{2} + 1$

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5. 对任意正整数对 $(h ， k)$ ，定义函数 $f (h ， k)$ 如下： $f (1 ， j) = 1$ ， $(i + 1) f (i + 1 ， j) = (j - i) f (i ， j) ， i \leq j$ ，则（）

A、 $f (j + 1 ， j) = 1$ B、 $f (i ， j) = 2 C_{j}^{i - 1}$ C、 $\sum_{i = 1}^{j} [j^{2} \cdot f (i ， j)] = j \cdot (2^{j} - 1)$ D、 $\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{j} [j \cdot f (i ， j)] = 2^{n} + n - 2$

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6. 下列变量之间的关系是函数关系的是（）

A、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，其中 $a$ ， $c$ 是已知常数，取 $b$ 为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B、光照时间和果树亩产量 C、降雪量和交通事故的发生率 D、每亩施用肥料量和粮食亩产量

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7. 下列命题中，正确的有（）个
①对应： $A = R ， B = R ， f ： x \to y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ 是映射，也是函数；
②若函数 $f (x - 1)$ 的定义域是（1，2），则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $(0 ， \frac{， 1}{2})$ ；
③幂函数 $y = x^{- \frac{2}{3}}$ 与 $y = x^{4}$ 图像有且只有两个交点；
④当 $b > 0$ 时，方程 $| 2^{x} - 1 | - b = 0$ 恒有两个实根.

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，集合 $B = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 存在函数 $y = f (x)$ ，满足对任意 $x \in R$ 都有（）

A、 $f (| x | - 1) = | x + 1 |$ B、 $f (| x - 1 |) = | x + 1 |$ C、 $f (x^{2} + 2 x) = | x + 1 |$ D、 $f (x^{2} - 1) = | x + 1 |$

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10. 有以下判断，其中是正确判断的有（）

A、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \geq 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图像与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要不充分条件 D、若 $f (x) = | x - 1 | - | x |$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) = 1$

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二、填空题

11. $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[3.5] = 3$ ，则 $[l o g_{2} 5] + [l o g_{2} 50] =$ ．

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12. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ “狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 $D (\sqrt{2} + D (π)) + D (0)$ ＝．

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13. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - l n x) = \frac{1}{x}$ ，则 $f (2)$ 等于.

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14. 如图展示了由区间(0，4)到实数集R的一个映射过程：区间(0，4)中的实数m对应数轴上的点M(如图甲)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B
A(B)恰好重合(如图乙)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图丙)，点A的坐标为(0，4)，若图丙中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则m的象就是n，记作f(m)=n．现给出以下命题：

①f(2)=0；

②f(x)的图象关于点(2，0)对称；

③f(x)在区间(3，4)上为常数函数；

③f(x)在区间(3，4)上为常数函数；

④f(x)为偶函数．

其中真命题的序号为． (写出所有真命题的序号)

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15. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 $π$ 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第 $n$ 位上的数字为 $y$ ，那么你认为： $y$ （填“是”或“不是”） $n$ 的函数，理由是.

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16. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表.

每户每月用水量	水价
不超过12 $m^{3}$ 的部分	3元/ $m^{3}$
超过12 $m^{3}$ 但不超过18 $m^{3}$ 的部分	6元/ $m^{3}$
超过18 $m^{3}$ 的部分	9元/ $m^{3}$

已知某户10月份用水量超过 $20$ $m^{3}$ ，则该户该月应缴纳的水费 $y$ （元）关于用水量 $x$ （ $m^{3}$ ）的函数关系式是y= .

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17. 已知 $f (x)$ 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数 $f (x)$ ：.
①定义域为R；② $f (x) = f (x + \frac{π}{2})$ ；③ $1 + f (2 x) = 2 f^{2} (x)$ ；④ $f (\frac{π}{4}) \neq - 1$ .

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18. 若存在实数 $k$ ， $b$ 使得不等式在某区间上恒成立，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有.（填上所有正确答案的序号）
① $x \in [0 ， \frac{π}{2})$ ， $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = \tan x$ ；

② $x \in [1 ， + \infty)$ ， $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ ；

③ $x \in R$ ， $f (x) = x^{2} + 2$ ， $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ ；

④ $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ， $g (x) = 2 x \ln x$ .

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19. 下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为.
① $A \in R ， B \in R$ ， $x^{2} + y^{2} = 1$ ；

②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：

③ $A = R ， B = R$ ， $f ： x \to y = \frac{1}{x - 2}$ ；

④ $A = Z ， B = Z$ ， $f ： x \to y = \sqrt{2 x - 1}$ .

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20. 请写出满足条件“ $f (x) \leq f (1)$ 对任意的 $x \in [0, 1]$ 恒成立，且 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上不是增函数”的一个函数：．

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三、解答题

21. 已知集合A和定义域为 $R$ 的函数 $y = f (x)$ ，若对任意 $t \in A$ ， $x ∈ R$ ，都有 $f (x + t) - f (x) \in A$ ，则称 $f (x)$ 是关于A的同变函数.

(1)、当 $A = (0 ， + \infty)$ 与 $(0 ， 1)$ 时，分别判断 $f (x) = 2^{x}$ 是否为关于A的同变函数，并说明理由；

(2)、若 $f (x)$ 是关于 ${2}$ 的同变函数，且当 $x \in [0 ， 2)$ 时， $f (x) = \sqrt{2 x}$ ，试求 $f (x)$ 在 $[2 k ， 2 k + 2) (k \in Z)$ 上的表达式，并比较 $f (x)$ 与 $x + \frac{1}{2}$ 的大小；

(3)、若n为正整数，且 $f (x)$ 是关于 $[2^{- n} ， 2^{1 - n}]$ 的同变函数，求证： $f (x)$ 既是关于 ${m \cdot 2^{- n}} (m \in Z)$ 的同变函数，也是关于 $[0 ， + ∞)$ 的同变函数.

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22. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1} \in [k ， + \infty)$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty ， k)$ ，使得 $f (x_{2}) = f (x_{1})$ ，则称函数 $f (x)$ 是“ $V (k)$ 型函数”.

(1)、判断 $f (x) = x^{2} + 1$ 是否为“ $V (- 1)$ 型函数”?并说明理由；

(2)、若存在实数 $k$ ，使得函数 $g (x) = l o g_{2} (x^{2} + a x + 1)$ 始终是“ $V (k)$ 型函数”，求 $k$ 的最小值；

(3)、若函数 $h (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{a}{x} - 1 ， x \geq 1 \\ | x - a | ， x < 1 \end{array}$ ，是“ $V (1)$ 型函数”，求实数 $a$ 的取值范围.

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23. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在两个不同的实数x，满足 $f (x) = 2^{x}$ ，则称 $f (x)$ 为“类指数函数”．

(1)、已知函数 $g (x) = \frac{1}{3^{x}} - 2$ ，试判断 $g (x)$ 是否为“类指数函数”，并说明理由；

(2)、若 $h (x) = \frac{a}{2^{x} - a - 1}$ 为“类指数函数”，求a的取值范围．

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24. 对于函数 $f (x) = x$ ，则称x为 $f (x)$ 的“不动点”，若 $f (f (x)) = x$ ，则称x为 $f (x)$ 的“和谐点”，函数 $f (x)$ 的“不动点”和“和谐点”的集合分别为M，N即 $M = {x | f (x) = x} ， N = {x | f (f (x)) = x}$ ．

(1)、求证： $M \subseteq N$ ；

(2)、若 $f (x)$ 为单调递增时，是否有 $M = N$ ？并证明；

(3)、若 $f (x) = a x^{2} - a (a \in R ， x \in R)$ ，且 $M = N \neq \emptyset$ ，求实数a最大值与最小值的积．

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25. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x_{0}$ ，满足 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称 $f (x)$ 为“ $M$ 类函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = 2 c o s (x - \frac{π}{3})$ ，试判断 $f (x)$ 是否为“ $M$ 类函数”？并说明理由；

(2)、设 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} - 3$ 是定义域 $R$ 上的“ $M$ 类函数”，求实数m的取值范围；

(3)、若 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (x^{2} - 2 m x) ， x > 3 \\ - 2 ， x < 3 \end{array}$ 为其定义域上的“ $M$ 类函数”，求实数 $m$ 取值范围.

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26. 若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x) \cdot f (- x) = 1$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“倒函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ 和 $g (x) = 3^{x + 1}$ 是否为倒函数，并说明理由；

(2)、若 $φ (x) = {[p (x)]}^{q (x)}$ （ $p (x)$ 恒为正数），其中 $p (x)$ 是偶函数， $q (x)$ 是奇函数，求证： $φ (x)$ 是倒函数；

(3)、若 $h (x) = \sqrt{x^{2} + m} + n x (n > 0)$ 为倒函数，求实数m、n的值；判定函数 $y = h (x)$ 的单调性，并说明理由．

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27. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若存在常数 $k$ 和 $A$ ，对任意的 $x \in R$ ，都有 $| f (x) - k x | \leq A$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“拟线性函数”，其中数组 $(k ， A)$ 称为函数 $f (x)$ 的拟合系数.

(1)、数组 $(2 ， 1)$ 是否是函数 $g (x) = \frac{2 x^{3}}{1 + x^{2}}$ 的拟合系数？

(2)、判断函数 $s (x) = x s i n x$ 是否是“拟线性函数”，并说明理由；

(3)、若奇函数 $h (x)$ 在区间 $[0 ， p] (p > 0)$ 上单调递增，且 $h (x)$ 的图像关于点 $(p ， q)$ 成中心对称（其中 $p ， q$ 为常数），证明： $h (x)$ 是“拟线性函数”.

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28. 若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式 $m ⩽ f (x) ⩽ n$ 的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{1}{x} ， x \in (0 ， + \infty)$ 是否为P函数，并说明理由；

(2)、是否存在实数a使得函数 $f (x) = x^{2} - a x + a - 1$ 为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

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29. 若对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，使得 $x_{1} - x_{2} \in W$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in W$ ，则称 $f (x)$ 是W陪伴的．

(1)、判断 $f (x) = 3 x - 1$ 是否为 $[0 ， + \infty)$ 陪伴的，并证明；

(2)、若 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 是 $[0 ， + \infty)$ 陪伴的，求a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 是 ${2}$ 陪伴的，且是 $(0 ， + \infty)$ 陪伴的，求证： $f (x)$ 是 $(2 ， 4)$ 陪伴的．

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30. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是单调函数，满足 $f (3) = 6$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，（ $x$ ， $y \in R$ ）．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (1)$ ；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(3)、若对于任意 $x \in [\frac{1}{2} ， 3]$ ，都有 $f (k x^{2}) + f (2 x - 1) < 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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