【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：指、对数不等式的解法

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L_{p} =

20 \times l g \frac{p}{p_{0}}

，其中常数

p_{0} (p_{0} > 0)

是听觉下限间值，

p

是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离/m	声压级/dB
燃油汽车	10	60~90
混合动力汽车	10	50～60
电动汽车	10	40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10 m$ 处测得实际声压分别为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，则（）

A、

p_{1} ⩾ p_{2}

B、

p_{2} > 10 p_{3}

C、

p_{3} = 100 p_{0}

D、

p_{1} ⩽ 100 p_{2}

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0} ， B = {x | \log_{2} (x - 1) \geq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[3 ， 4]$ B、 $[- 2 ， 4]$ C、 $[- 2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， 3]$

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3. 已知 $f (x) = l n | x | + {(e x)}^{2}$ ，则 $f (x) > 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - \frac{1}{e} < x < 0}$ B、 ${x | x < - \frac{1}{e}$ 或 $x > \frac{1}{e}}$ C、 ${x | - \frac{1}{e} < x < 0$ 或 $0 < x < \frac{1}{e}}$ D、 ${x | - \frac{1}{e} < x < 0$ 或 $x > \frac{1}{e}}$

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4. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x \leq 2}$ ， $B = {x | - 2 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(0 ， 4]$

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5. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x < 0}$ ， $B = {x | \log_{3} x > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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6. 设集合 $A = {x \in N ∣ x^{2} - 8 x + 12 < 0} ， B = {x ∣ \log_{2} (x - 1) < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 ${x ∣ 3 \leq x < 5}$ B、 ${x ∣ 2 < x < 5}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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7. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x < 0} ， B = {x | \lg x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{x|0<x<l} B、{x|x>0} C、{x|1<x<3} D、{x|0<x<3}

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8. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 的图象连续不断，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，对任意正实数 $x$ 恒有 $x f^{'} (x) > 2 f (- x)$ ，若 $g (x) = x^{2} f (x)$ ，则不等式 $g ({log}_{3} (x^{2} - 1)) + g (- 1) < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \sqrt{3} ， 2)$ D、 $(- 2 ， - 1) \cup (1 ， 2)$

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9. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x < 1}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${- 1, 0}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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10. 已知集合 $A = {x | | x | < 1}$ ， $B = {x | \log_{2} x \leq 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- 1, 4]$ D、 $(0, 4]$

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11. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | \lg x \leq 0}$ .则 $A \cup B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[- 2, 3]$ D、 $(- \infty, 3]$

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二、填空题

12. 若f（x）= $x^{\frac{2}{3}}$ ﹣ $x^{- \frac{1}{2}}$ ，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．

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13. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} + x^{2} + a$ .
①对于任意实数 $a$ ， $f (x)$ 为偶函数；
②对于任意实数 $a$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；
③存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有3个零点；
④存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2022$ 的解集为 $(- \infty ， - 1] ∪$ $[1 ， + \infty)$ .
所有正确命题的序号为.

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14. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 1$ ， $a_{4} + a_{5} = 6$ ，则满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} < a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ 的最小正整数 $n$ 的值为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = \frac{1}{4}$ ，则满足 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} a_{n + 1} \leq \frac{21}{2}$ 成立的最大正整数 $n$ 的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq 0 \\ {log}_{2} x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若 $f (a) ⩾ 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17. 定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜ $\frac{1}{3}$ ，则不等式f（log₂x）＞ $\frac{\log_{2} x + 1}{3}$ 的解集为．

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18. 已知 $p ： x^{2} - 2 a x + a^{2} < 4$ ， $q ： \log_{2} (x + 1) < 3$ .若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0 \\ 2^{x}, x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ；若 $f (x) < \frac{1}{2}$ ，则x的取值范围是.

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x^{2} - \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)$ ，则满足不等式 $f (\log_{\frac{1}{3}} x) > 1$ 的 $x$ 范围是.

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21. 已知“ $x \geq m$ ”是“ $2^{x} > \frac{1}{4}$ ”的充分不必要条件，且 $m \in Z$ ，则 $m$ 的最小值是．

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22. 已知对数函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4, - 2)$ ，则不等式 $f (x - 1) - f (x + 1) > 3$ 的解集．

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23. 不等式4^x＞2 $^{x^{2} - 3}$ 的解集为．

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24. 已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0，f（x）=log₃（x+3）﹣a，则不等式|f（x）|＜1的解集为．

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25. 满足4^2x^﹣1＞（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣x﹣4的实数x的取值范围为．

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26. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{x} - 3 ， x \geq 1 \\ \log_{\frac{1}{3}} x ， 0 < x < 1 \end{matrix}$ ，则满足不等式 $f (m) \leq f (\frac{1}{9})$ 的实数m的取值范围为．

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27. 不等式0.5^2x＞0.5^x^﹣¹的解集为．

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三、解答题

28. 已知 $a \in$ R，函数 $f (x)$ = $\log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x)$ ＞1；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x)$ + $\log_{2} (x^{2})$ =0的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的值；

(3)、设 $a$ ＞0，若对任意 $t \in$ $[\frac{1}{2}, 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t, t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围．

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29. 求下列不等式的解集：

(1)、 $| 2 x - 3 | < 5$ ；

(2)、 $4^{x} - 4 \cdot 2^{x} - 12 > 0$

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30. 已知函数 $f (x) = | x - 5 | + | x + 4 |$

(1)、求不等式 $f (x) \geq 12$ 的解集；

(2)、若 $f (x) - 2^{1 - 3 a} - 1 \geq 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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31. 函数 $f (x) = x e^{x} - a x + b$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为： $y = - x + 1$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq ln x - x + m$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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32. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (3^{a} x) \cdot l o g_{3} \frac{x}{9}$ （常数 $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 0$ 时，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{9} ， 27]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值.

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33. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且满足 $f (x) - g (x) = e^{x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x^{2} + 1) + f (3 - a x) > 0$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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34. 已知函数 $g (x) = \frac{4^{x} - a}{2^{x}}$ 是奇函数， $f (x) = \lg (10^{x} + 1) + b x$ 是偶函数.

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、设 $h (x) = f (x) + \frac{1}{2} x$ ，若存在 $x \in [0 ， 1]$ ，使不等式 $g (x) > h [\lg (10 a + 9)]$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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35. 已知集合 $M = {x | \frac{1}{8} < 2^{x} < 32}$ ， $N = {x | 0 < x < 4}$ ， $C = {x | a < x \leq 2 a - 1}$ ．

(1)、求 $M \cap (C_{R} N)$ ；

(2)、若 $M \cup C = M$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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