【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：不等式的综合

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$ ，不等式 $f (x^{2}) > f (x + 2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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2. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ．则下列不等式正确的是（）

A、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $(\frac{1}{a} + 2) (\frac{1}{b} + 2) \leq 16$ D、 $\frac{2 a}{a^{2} + b} + \frac{b}{b^{2} + a} \leq \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

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3. 已知： $a = e^{0.42}$ ， $b = 2^{0.5}$ ， $c = l o g_{4} 5$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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4. 设大于1的两个实数a，b满足 $\frac{l n^{2} b}{e^{2 a}} < {(\frac{b}{a})}^{n}$ ，则正整数n的最大值为（）．

A、7 B、9 C、11 D、12

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} - 4} + \frac{x}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 有唯一一个零点 D、不等式 $f (2 x + 3) > f (x^{2})$ 的解集为 $(- 1 ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$

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6. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (x + 1)$ ，当 $x ⩾ 1$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 5 ， 1 ⩽ x < 2 ， \\ 2 - l o g_{2} x ， x ⩾ 2 ， \end{array}$ 若对任意的 $x \in [t ， t + 1]$ ，不等式 $f (x) ⩽ f (1 - t - x)$ 恒成立，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1] ∪ [- \frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2] ∪ [\frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， \frac{1}{3}]$ D、 $[- 1 ， - \frac{1}{3}]$

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7. 已知 $a > 0$ ，不等式 $x e^{x} - x^{a} l n x^{a} \geq 0$ 对任意的实数 $x > 1$ 恒成立，则实数a的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2 e}$ B、 $2 e$ C、 $\frac{1}{e}$ D、e

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，其导函数为 $f (x) ， f (- 1) = 4$ ，且 $3 f (x) + x f (x) > 3$ ，则不等式 $f (x) < 1 + \frac{3}{x^{3}}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a ， x \leq 1 \\ e^{x} - a x ， x > 1 \end{array} (a \in R)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[1 ， e]$ D、 $[0 ， e]$

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10. 根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度 $\leq 0.1 mg / m^{3}$ 为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为 $6.25 mg / m^{3}$ ，3周后室内甲醛浓度为 $1 mg / m^{3}$ ，且室内甲醛浓度 $ρ (t)$ （单位： $mg / m^{3}$ ）与竣工后保持良好通风的时间 $t (t \in N^{*})$ （单位：周）近似满足函数关系式 $ρ (t) = e^{a t + b}$ ，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）

A、5周 B、6周 C、7周 D、8周

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二、填空题

11. 已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是．

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12. 已知 $a > 0 ， b \in R$ ，若 $| a x^{3} - b x^{2} + a x | \leq b x^{4} + (a + 2 b) x^{2} + b$ 对任意 $x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 都成立，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是．

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13. 已知 $0 < a \neq 1$ ， $a^{x} > l o g_{a}^{} x (x > 0)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知数列 ${\frac{n^{2}}{2 n - 1}}$ 与数列 ${\frac{n^{2}}{2 n + 1}}$ 的前n项和分别为 $S_{n} ， T_{n}$ ，则 $S_{5} - T_{5} =$ ；若 $S_{n} - T_{n} < λ (n + 1) (n + 16)$ 对于 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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15. 若对任意正实数x，y，不等式 $(3 x - y) (l n y - l n x + 2) ⩽ a x$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} + x^{2} - 28$ ，则不等式 $f (x^{2} - 3 x) \leq 4$ 的解集为.

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17. 已知函数 $f (x) = x - \sin x$ ，则满足不等式 $f (\ln x) + f (2 \ln \frac{1}{x} - 1) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x}{| x | + 1}$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，则实数a= ，又若函数 $f (x)$ 的图象恒在直线 $y = 2$ 的下方，则实数b的取值范围是

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19. 已知 $a \in R$ ， $x \ln x (a x^{2} - x - a + 1) \leq 0$ 在 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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20. 若存在实常数 $k$ 和 $b$ ，使得 $F (x)$ 和 $G (x)$ 对其公共定义域上的任意实数 $x$ 都满足： $F (x) \geq k x + b$ 和 $G (x) \leq k x + b$ 恒成立，则称此直线 $y = k x + b$ 为 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的“分隔直线”.已知函数 $f (x) = - x^{2} (x \in R)$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在“分隔直线”，则 $b$ 的取值范围为.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 e^{- x}$ ， $g (x) = x - a$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) - 1 \geq | g (x) + 1 |$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

22. 已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.

(1)、画出f（x）和y=g（x）的图像；

(2)、若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.

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23. 已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.

(1)、当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；

(2)、若f（x）≥-a，求a的取值范围.

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24. 设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x³﹣6x²﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e^xf（x）．（14分）

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e^x的图象在公共点（x₀ ， y₀）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x₀处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤e^x在区间[x₀﹣1，x₀+1]上恒成立，求b的取值范围．

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25. 已知函数f（x）=ax²﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x₀ ，且e^﹣2＜f（x₀）＜2^﹣2 ．

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26. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 无极值，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \leq 1$ ，证明 $f (x) > 1 + x l n x$ ．

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27. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ 的极小值为1．

(1)、求实数a的值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{x} + m (\frac{1}{x^{2}} - 1)$ ．
①证明：当 $0 < m < \frac{1}{2}$ 时， $\forall x \in (0 ， \frac{m}{1 - m})$ ， $g (x) > 0$ 恒成立；
②若函数 $g (x)$ 有两个零点，求实数m的取值范围．

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28. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、设 $x \in R$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为M．若实数a，b，c满足 $a + 2 b + 3 c = M$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值．

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29. 设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)= $\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x - 1}}$ ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

(1)、讨论f(x) 的单调性；

(2)、证明：当x＞1时，g(x)＞0；

(3)、如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $x \in R$ ， $g (x) = l n x$ ， $x \in (0 ， + ∞)$ ．

(1)、若直线 $y = k x + 2$ 与 $g (x)$ 的图象相切，求实数 $k$ 的值；

(2)、设 $x > 0$ ，讨论曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = m x^{2} (m > 0)$ 公共点的个数．

(3)、设 $a < b$ ，比较 $\frac{f (a) + f (b)}{2}$ 与 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小，并说明理由．

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31. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x + a c o s x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) > x l n x + 1 - a x$ .

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32. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{a x + 1} + \frac{1}{e^{x}} - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数， $a ， b$ 为实数）.

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 1]$ 上的最值；

(2)、若 $x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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33. 已知函数 $f (x) = e^{\frac{1}{2} x}$ （e为自然对数的底数）．

(1)、令 $g (x) = a | x | - | f (x) - \frac{1}{f (x)} |$ ，若不等式 $g (x) \leq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、令 $φ (x) = x f^{3} (x) - m$ ，若函数 $φ (x)$ 有两不同零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
①求实数m的取值范围；
②证明： $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} < 2 m + 1$ ．

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34. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = q a_{n}$ （q为实数，且 $q \neq 1$ ）， $n \in N^{*}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{3} + a_{4}$ ， $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列．

(1)、求q的值和 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{l o g_{2} a_{2 n}}{a_{2 n - 1}} ，$ $n \in N^{*}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，满足 $4 (λ n + b_{n}) - (n + 1) b_{n} > λ n S_{n}$ ，试求实数 $λ$ 的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = \frac{a l n x}{x + 1}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $2 x + y = 0$ 垂直.

(1)、设 $g (x) = \frac{x}{(x + 1) f (x)}$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x > 0$ ，且 $x \neq 1$ 时， $f (x) > \frac{l n x}{x - 1} + \frac{k - 1}{x}$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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