【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：一元二次方程的解集及其根与系数的关系

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{3} ， a_{7}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$ 的极值点，设等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、-18或18 B、-18 C、18 D、2

查看试题解析
2. 已知方程 $(x^{2} - m x + 27) (x^{2} - n x + 27) = 0$ 的四个根组成以1为首项的等比数列，则 $| m - n | =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、20

查看试题解析
3. 设各项均为实数的等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，对于方程① $2023 x^{2} - S_{2023} x + T_{2023} = 0$ ， ② $x^{2} - a_{1} x + b_{1} = 0$ ， ③ $x^{2} + a_{2023} x + b_{2023} = 0$ ．下列判断正确的是（）

A、若①有实根，②有实根，则③有实根 B、若①有实根，②无实根，则③有实根 C、若①无实根，②有实根，则③无实根 D、若①无实根，②无实根，则③无实根

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} | 1 - x | |$ ，若函数 $g (x) = f^{2} (x) + a f (x) + 2 b$ 有6个不同的零点，且最小的零点为 $x = - 1$ ，则 $2 a + b =$ （）．

A、6 B、-2 C、2 D、-6

查看试题解析
5. 已知 $m$ ， $n$ 为实数， $1 - i$ （i为虚数单位）是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

查看试题解析
6. 已知复数z是方程 $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ 的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

查看试题解析
7. 若函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + a l n x$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{2})$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1 - 2 l n 2}{4} ， 0)$ B、 $(\frac{1 - l n 2}{4} ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(- \frac{1}{4} ， 0)$

查看试题解析
8. 设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 、 $b x^{2} + c x + a > 0$ 与 $c x^{2} + a x + b > 0$ 的全体实数x所组成的集合等于 $(p ， + \infty)$ .则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；② $p = 0$ .下列判断中正确的是（）

A、①和②都正确 B、①和②都错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

查看试题解析
9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $l ： x - 2 y + 5 = 0$ 有公共点，则 $p$ 的值可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
10. 函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{16} x^{2} (0 \leq x \leq 2) \\ {(\frac{1}{2})}^{x} (x > 2) \end{array}$ ，若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} + a f (x) + b = 0$ ， $a ， b \in R$ 有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）

A、（－ $\frac{5}{2}$ ，－ $\frac{1}{4}$ ） B、（－ $\frac{1}{2}$ ，－ $\frac{1}{8}$ ） C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4}) \cup (- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{8})$ D、（－ $\frac{1}{2}$ ，－ $\frac{1}{4}$ ）

查看试题解析

二、填空题

11. 设 $3 i$ （i为虚数单位）是关于x的方程 $x^{2} + m = 0 (m \in R)$ 的根，则 $m =$ ．

查看试题解析
12. 已知实数a，b满足 $l g a + l g b = l g (a + 2 b)$ ，则 $a + b$ 的最小值是.

查看试题解析
13. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α - 8 c o s α = 5$ ，则 $c o s α =$ ．

查看试题解析
14. 已知 $f (x) = | l n x |$ ， $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $f (x) = a$ （ $a \in R$ ）的两根，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{a}{x_{1} x_{2}^{2}}$ 的最大值是．

查看试题解析
15. 若曲线 $y = (x - a) e^{x} (a > 0)$ 有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为.

查看试题解析
16. 过抛物线 $Γ ： x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ， $l_{1}$ 与 $Γ$ 相交于点 $A ， B$ ， $l_{2}$ 与 $Γ$ 相交于点 $C ， D$ .分别以 $A B ， C D$ 为直径的圆 $M$ ，圆 $N$ （ $M ， N$ 为圆心）的公共弦记为 $l$ ，则点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为.

查看试题解析
17. 若关于x的实系数一元二次方程 $x^{2} - m x + 3 m - 8 = 0$ 有两个共轭虚数根，则m的取值范围是．

查看试题解析
18. 已知点 $A 、 B$ 在抛物线 $Γ ： y^{2} = 4 x$ 上，点 $M$ 在 $Γ$ 的准线上，线段 $M A 、 M B$ 的中点均在抛物线 $Γ$ 上，设直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $N (0 ， n)$ ，则 $| n |$ 的最小值为．

查看试题解析
19. 已知函数f（x）＝ ${\begin{array}{l} x^{2} - x + 3 ， x \leq 1 \\ x + \frac{2}{x} ， x > 1 \end{array}$ ，设a∈R，若关于x的不等式f(x) $\geq | \frac{x}{2} + a |$ 在R上恒成立，则a的取值范围是.

查看试题解析
20. 已知正数a，b是关于x的方程 $x^{2} - (m^{2} + 4) x + m = 0$ 的两根，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

查看试题解析

三、解答题

21. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + (3 a + 1) x + c}{x + a} (a ， c \in R)$

(1)、当 $a = 0$ 是，是否存在实数 $c$ ，使得 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 3)$ ，且 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴负半轴有两个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + c o s θ \\ y = s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和直线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点P的极坐标为 $(2 ， \frac{π}{2})$ ，设曲线 $C_{1}$ 和直线 $C_{2}$ 交于M，N两点，求 $| \frac{1}{| P M |} - \frac{1}{| P N |} |$ 的值．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - x + \frac{1}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{x} + 1$ ，记 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，若 $g (x) (x^{2} + m x + n) \leq 0$ 对任意的正数 $x$ 恒成立，求 $[2 l n n - \frac{1}{n e^{m + 2}} + \frac{1}{n} + 1]$ 的值.
（参考数据： $l n 3 \approx 1.1$ ， $l n 2 \approx 0.7$ ）

查看试题解析
24. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1}$ ､ $a_{3}$ 是方程 $x^{2} - 10 x + m = 0$ 的两个根，且 $a_{4} = 9$ ，求

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对一切实数 $n \in N^{*}$ ，都有 $T_{n} < λ^{2} - λ$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

查看试题解析
25. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 3 + 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ s i n (x + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ．

(1)、写出曲线C和直线l的普通方程；

(2)、已知点 $P (2 ， 0)$ ，直线l与曲线C交于点A、B，弦AB的中点为Q，求 $\frac{| P Q |}{| P A | \cdot | P B |}$ 的值．

查看试题解析
26. 已知圆 $C$ 的直角坐标方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t ， \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以平面直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆 $C$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、设射线 $m$ 的极坐标方程为 $θ = α$ ， $α \in [0 ， 2 π)$ ， $m$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $l$ 与圆 $C$ 相交于A、B两点，若 $\frac{| A B |}{| O M |} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ ，求点 $M$ 的极坐标．

查看试题解析
27. 已知函数 $f (x) = l n (1 + x) - \frac{2 x}{2 + x + a x^{2}} (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求实数a．

查看试题解析
28. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系 $O x$ 中，曲边三角形 $O P Q$ 为勒洛三角形，且 $P (2 ， - \frac{π}{6})$ ， $Q (2 ， \frac{π}{6})$ ，以极点O为直角坐标原点，极轴 $O x$ 为x轴正半轴建立平面直角坐标系 $x O y$ ，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = - 1 + \frac{1}{2} t \end{array}$ （t为参数）．

(1)、求 $\overset{⌢}{P Q}$ 的极坐标方程和 $\overset{⌢}{O Q}$ 所在圆 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点M的直角坐标为 $(0 ， - 1)$ ，曲线 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交于A，B两点，求 $| \frac{1}{| M A |} - \frac{1}{| M B |} |$ ．

查看试题解析
29. 已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，位于 $x$ 轴上方的点 $M$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的动点，且直线 $M A$ 与直线 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .动直线 $l$ 与直线 $M A$ 的倾斜角互补，交 $C$ 于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点 $(y_{1} > y_{2})$ ，设 $Q$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M ， N$ 分别作椭圆 $C$ 的切线 $l_{1} ， l_{2}$ 交于点 $I$ .若当点 $M ， P ， Q$ 移动时，始终保持 $\sin ∠ M P Q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，证明： $I$ 在一条定直线上.

查看试题解析
30. 已知抛物线E： $y^{2} = 2 p x$ （ $0 < p < 2$ ）上一点Q $(x_{Q} ， 2)$ 到其焦点的距离为 $\frac{5}{2}$ .

(1)、求抛物线E的方程，

(2)、设点P $(x_{0} ， y_{0})$ 在抛物线E上，且 $y_{0}^{2} \neq 4$ ，过P作圆C： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，分别与抛物线E交于点M，N（M，N两点均异于P）.证明：直线MN经过R $(6 ， - y_{0})$ .

查看试题解析
31. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + 3$ ，其中 $m \in R$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 5$ 的解集是 $(- 1 ， 2)$ ，求m的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上有且仅有一个零点，求m的取值范围.

查看试题解析
32. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 - \frac{4}{5} t ， \\ y = \frac{3}{5} t \end{array}$ (t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $4 s i n θ = ρ - \frac{21}{ρ}$ ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l和曲线C相交于A，B两点，求 $| A B |$ 的值．

查看试题解析
33. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 - \frac{\sqrt{3}}{2} t ， \\ y = 2 + \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ c o s θ - 4 ρ s i n θ - 1 = 0$ ．

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设圆 $C$ 与直线 $l$ 交于点 $A$ ， $B$ ，若点 $P$ 的坐标为（4，2），求 $| P A | + | P B |$ ．

查看试题解析
34. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s α ， \\ y = - 1 + 2 s i n α . \end{array}$ ( $α$ 为参数)，以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ ．

(1)、求圆 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 的交点为 $A ， B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

查看试题解析
35. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s α \\ y = - 1 + t s i n α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} c o s (θ - \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于不同两点 $A$ 、 $B$ ，线段 $A B$ 中点为 $M$ ，点 $N (0 ， - 1)$ ，若 $| M N | = 2$ ，求 $C_{1}$ 参数方程中 $s i n α$ 的值.

查看试题解析