【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：基本不等式在最值问题中的应用

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若 $\log_{2} (2^{x} - 1) - x < \log_{2} (λ \cdot 2^{x} + 3 λ)$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{9} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{9})$ C、 $(\frac{1}{5} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{5})$

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2. 已知F₁,F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点M在C 上，则|MF₁|·|MF₂|的最大值为（）

A、13 B、12 C、9 D、6

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 s i n \frac{2 π}{5} x ， - \frac{15}{4} \leq x \leq \frac{5}{4} \\ | l o g_{2} (x - 1) | ， x ＞ \frac{5}{4} \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ）满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4}) = m$ ，则（）

A、 $0 \leq m \leq 1$ B、 $x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2}$ C、 $x_{3} x_{4} - x_{3} - x_{4} = 0$ D、 $x_{3} x_{4} > 0$

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4. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$ ，则 $2 x y - 2 x - y$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、8 D、9

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5. 若 $6^{a} = 2 ， 6^{b} = 3$ ，则（）

A、 $\frac{b}{a} > 1$ B、 $a b < \frac{1}{4}$ C、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ D、 $b - a > \frac{1}{5}$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}^{2} + a_{4}^{2} = 4$ ，则 $a_{2} + a_{3}$ 不可能取的值是（）

A、-3 B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ ，且 $| \vec{a} | | \vec{b} | \geq \frac{4}{3}$ ，则夹角 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 已知 $3^{x} = 5^{y} = 15$ ，则实数 $x ， y$ 满足（）

A、 $x > y$ B、 $x + y < 4$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$ D、 $x y > 4$

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9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则 $\frac{2}{a + 1} + \frac{8}{b + 1}$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、9

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10. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y - x y + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $3 < x y ≤ 12$ B、 $x + y \geq 6$ C、 $x^{2} + y^{2} ≥ 18$ D、 $0 < \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ≤ \frac{1}{3}$

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，若直线 $l_{1} ： a x + b y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + (1 - a) y + 1 = 0$ 垂直，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、1 B、3 C、8 D、9

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12. 八一起义纪念碑(如图甲所示)是江西省南昌市的标志性建筑，它坐落于南昌市中心的八一广场.纪念碑的碑身为长方体，正北面是叶剑英元帅题写的“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字.建军节那天，李华同学去八一广场瞻仰纪念碑，把地面抽象为平面､碑身抽象为线段 $A B$ ，李华同学抽象为点 $C$ ，则李华同学站在广场上瞻仰纪念碑的情景可简化为如图乙所示的数学模型，设A､B两点的坐标分别为 $(0 ， a)$ ， $(0 ， b)$ ，要使 $A B$ 看上去最长(可见角 $∠ A C B$ 最大)，李华同学(点 $C$ )的坐标为（）

A、 $(\sqrt{a b} ， 0)$ B、 $(2 \sqrt{a b} ， 0)$ C、 $(a b ， 0)$ D、 $(2 a b ， 0)$

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二、填空题

13. 已知 $△ A B C$ 中，点D在边BC上， $∠ A D B = 120 ° ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D =$ ．

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14. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b$ 的最小值为．

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15. 已知点 $C$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，点 $A ， B$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 10$ 上任意两个不同的点，且满足 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 0$ ，设 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $| C P | + | O P |$ 的最大值为．

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16. 已知 $A ， B ， D$ 三点在圆 $C ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 36$ 上， $△ A B D$ 的重心为坐标原点 $O$ ，则 $△ A B D$ 周长的最大值为.

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17. 若 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\frac{1}{s i n^{2} θ} + \frac{4}{c o s^{2} θ}$ 的最小值为

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18. 某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要米栅栏．

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19. 函数 $y = l o g_{2} x + \frac{1}{l o g_{4} (2 x)}$ 在区间 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上的最小值为．

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20. 已知实数 $a > 0 > b$ ，且 $a - b = 5$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{2 - b}$ 的最小值为.

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， 0 < x < 1 \\ x l n x ， x \geq 1 \end{array}$ 的图像与直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{s i n^{2} α}$ 交于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，与直线 $l_{2}$ ： $y = \frac{1}{2 c o s^{2} α}$ 交于两点 $C (x_{3} ， y_{3})$ 、 $D (x_{4} ， y_{4})$ ，其中 $x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4}$ 的最小值为.

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22. 某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板 $O A P ， O_{1} B_{1} C_{1} ， O_{2} B_{2} C_{2}$ 进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中 $O A = O_{1} B_{1} = O_{2} B_{2} = 3$ ， $O P = 5$ ，直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 始终全等（假设直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 的另两边的大小可变化）.现将直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 放在平面 $α$ 内拼接，直角三角板 $O A P$ 的直角边 $O A$ 也放在平面 $α$ 内，并使 $O A$ 与 $O_{1} B_{1}$ 重合，将直角三角板 $O A P$ 绕着 $O A$ 旋转，使点 $P$ 在平面 $α$ 内的射影始终与点 $C_{1} ， C_{2}$ 重合于点 $D$ ，如图②，则当四棱锥 $P - O A D B_{2}$ 的体积最大时，直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 的内角 $∠ B_{1} O_{1} C_{1}$ 的余弦值为.

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23. 已知实数 $a > b > 1$ ，满足 $a + \frac{1}{a - 1} \geq b + \frac{1}{b - 1}$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值是.

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24. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正实数，且 $b + c = \sqrt{6}$ ，则 $\frac{a c^{2} + 2 a}{b c} + \frac{8}{a + 1}$ 最小值为.

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三、解答题

25. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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26. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c o s \frac{A - C}{2} = 2 s i n \frac{B}{2}$ ．

(1)、证明： $a + c = 2 b$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，求 $\frac{S}{b^{2}}$ 的最大值．

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27. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 $2 a s i n A = (2 b - c) s i n B + c (2 s i n C - s i n B)$ ．

(1)、求A；

(2)、点D在边 $B C$ 上，且 $B D = 3 D C$ ， $A D = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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28. 已知 $a ， b \in R$ ，设函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = a \cdot x^{2} - b \cdot l n x$ （其中 $x > 0$ ）

(1)、设 $a = 1$ ， $b = 0$ ，当 $f (x) > x^{- 1}$ 时，求x的取值范围；

(2)、设 $a = 2$ ， $b > 4$ ，集合 $D = (0 ， 1]$ ，记 $g (x) = 2 c x - \frac{1}{x^{2}} (c \in R)$ ，若 $y = g (x)$ 在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有 $f (s) \geq g (t)$ 成立，求c的取值范围；

(3)、当 $a = 0$ ， $b < 0$ ， $x > 1$ 时，记 $h_{n} (x) = [f (x)]^{n} + \frac{1}{[f (x)]^{n}}$ ，其中n为正整数．求证： ${[h_{1} (x)]}^{n} + 2 \geq h_{n} (x) + 2^{n}$ ．

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29. 如果曲线 $y = f (x)$ 存在相互垂直的两条切线，称函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”．已知 $f (x) = x^{2} + a x + 2 l n x$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $M (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线为 $l_{1}$ ．

(1)、当 $f^{'} (1) = 0$ 时，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = - 8$ ， $x_{0} = 8$ 时，是否存在直线 $l_{2}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且 $l_{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切？请说明理由；

(3)、当 $a \geq - 5$ 时，如果函数 $y = f (x)$ 是“正交函数”，求满足要求的实数 $a$ 的集合 $D$ ；若对任意 $a \in D$ ，曲线 $y = f (x)$ 都不存在与 $l_{1}$ 垂直的切线 $l_{2}$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围．

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30. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) + \sqrt{x + 1} - 1$ ．

(1)、若 $f (x) \leq a x$ ，求 $a$ ．

(2)、证明： $0 < x < 1$ ， $(1 + \frac{4}{x}) f (x) < 6$ ．

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31. 已知函数 $f (x) = | x + 2 a | + | 2 x - \frac{1}{a} | (a \neq 0)$ .

(1)、 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、证明： $f (x) \geq 2$ .

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32. 记 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a s i n (B + C) = b (s i n B - s i n C) + c s i n C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值.

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33. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 ω x - 2 c o s^{2} ω x + 2 (ω \in N_{+})$ 在 $(π ， \frac{4 π}{3})$ 上单调．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $a = 3$ ， $f (\frac{A}{2}) = 2$ ，求△ABC周长的最大值．

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34. 已知在： $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分別为 $a ， b ， c$ ，且 $b = 4 ， 3 a c o s (\frac{π}{2} + A) + (4 c o s C + c c o s B) \cdot t a n A = 0$ .

(1)、求 $c o s A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，且 $s i n C > s i n B$ ，求 $c$ 的取值范围.

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35. 已知 $f (x) = a e^{x} - a e^{- x} - 2 x$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $m > n$ ， $m ， n \in N^{*}$ ，证明： $l n \frac{m}{n} - \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{k} < \frac{m - n}{2 m n}$ ．

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