【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：基本不等式2

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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2. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 $1 ， 2 ， \dots ， n$ ，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1 ， 2 ， \dots ， n) ， \sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .（）

A、若n=1，则H(X)=0 B、若n=2，则H(X)随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ ，则H(X)随着n的增大而增大 D、若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 $1 ， 2 ， \dots ， m$ ，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1 ， 2 ， \dots ， m)$ ，则H(X)≤H(Y)

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3. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点，点M、N在C上，若 $| M F_{2} | + | N F_{2} | = 6$ ，则 $| M F_{1} | | N F_{1} |$ 的最大值为（）

A、9 B、20 C、25 D、30

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4. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，直线 $y = \frac{1}{e} x + m + 1$ 与曲线 $y = l n x - n + 2$ 相切，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值是（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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5. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $2 x + y = 3$ ，则 $\frac{1}{5 x + y} + \frac{1}{x + 2 y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 设抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且 $∠ A F B = \frac{3 π}{4}$ ，过弦AB的中点P作 $y = - \frac{p}{2}$ 的垂线，垂足为Q，则 ${(\frac{| A B |}{| P Q |})}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、3 C、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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7. 已知实数a，b满足 $a^{2} - a b + b = 0 (a > 1)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $b > a$ B、 $b \geq 4$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ D、 $e^{b} + \frac{1}{e^{a}} + 2 a > e^{a} + \frac{1}{e^{b}} + 2 b$

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8. 设 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则“ $x + y = 2$ ”是“ $x y \leq 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + y = 1$ ，且不等式 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y} < m^{2} + \frac{3}{2} m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $m < - 3$ 或 $m > \frac{3}{2}$ B、 $m < - \frac{3}{2}$ 或 $m > 3$ C、 $- \frac{3}{2} < m < 3$ D、 $- 3 < m < \frac{3}{2}$

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10. 设实数 $x ， y$ 满足 $x + y = 1$ ， $y > 0$ ， $x \neq 0$ ，则 $\frac{1}{| x |} + \frac{2 | x |}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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11. 设 $a ， b ， c$ 均为正数，且 $a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a b + 2 b c + 2 c a \leq 1$ B、当 $a > \frac{\sqrt{6}}{6}$ 时， $a = b = c$ 可能成立 C、 $a b < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{4 c^{2}} \geq 9$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 和 $D ， E$ ，则 $| A B | + 4 | D E |$ 的最小值是（）

A、64 B、72 C、144 D、128

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二、填空题

13. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b$ 的最小值为．

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14. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值为．

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15. 设 $O$ 为原点，双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 的右支上． $\frac{\vec{O P} \cdot \vec{O F}}{| \vec{O P} |}$ 的取值范围是．

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16. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为.

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17. 已知正实数a、b满足 $a b = 1$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值等于．

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18. 设 $a > 0$ ， $b > 1$ ，若 $a + b = 2$ ，则 $\frac{9}{a} + \frac{1}{b - 1}$ 取最小值时a的值为．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过焦点 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C相交于 $A ， B$ 两点，椭圆C在 $A ， B$ 两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为，若 $△ F_{1} F_{2} P$ 的垂心为点H，则 $| P H |$ 的最小值是．

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20. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 9$ ，则 $\frac{36}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为．

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21. 正实数 $a ， b$ 满足 $4 a + b = 4 a b$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值为.

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22. 已知 $m > 0$ ，平面向量 $\vec{a} = (m^{2} + 2 ， m)$ ， $\vec{b} = (λ ， 1)$ ．若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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23. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若对 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ 都有 $a^{x} + a^{\frac{1}{x}} \leq \frac{2}{a}$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

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24. 已知 $x ， y > 0$ ，且 $x + 2 y - \frac{2}{x} - \frac{4}{y} = 7$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是．

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三、解答题

25. 设a，b，c $\in$ R，a+b+c=0，abc=1．

(1)、证明：ab+bc+ca<0；

(2)、用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．

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26. 已知a，b，c均为正数，且 $a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2} = 4$ ，证明：

(1)、若 $a = c$ ，则 $a b \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

(2)、 $a + 2 b + 3 c \leq 2 \sqrt{6}$ .

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27. 设函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6 - x$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为T，正数 $a ， b ， c$ 满足 $a + b + c = T$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{c} \geq \frac{16}{3}$ ．

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28. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\frac{b}{c o s B} + \frac{c}{c o s C} = \frac{a}{c o s A} + \frac{3 a}{c o s B c o s C}$ .

(1)、求 $t a n B t a n C$ ；

(2)、若 $b c = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最小值.

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29. 已知a，b，c为正实数且 $a + 2 b + 3 c = 5$ ．

(1)、求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(2)、当 $\sqrt{2 a b} + \sqrt{3 a c} + \sqrt{6 b c} \geq 5$ 时，求a+b+c的值．

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30. 设函数 $f (x) = | 2 x - 3 | + | 2 x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6 - x$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $T$ ，正数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + y + 2 z = T$ ，证明： $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{2}{z + 2} \geq \frac{8}{5}$ .

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31. 已知 $△ A B C$ 对应的三边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .

(1)、若 $x$ ， $y$ ， $z$ 是正实数，求证： $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}$ ，当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ 时，等号成立；

(2)、求证： $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} \geq \frac{3}{2}$ .

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32. 已知函数 $f (x) = | x + a | + 2 | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，对任意 $x \in [1 ， 2]$ 使得不等式 $f (x) > x^{2} - b + 1$ 恒成立，证明： ${(a + \frac{1}{2})}^{2} + {(b + \frac{1}{2})}^{2} > 2$ ．

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33. 设 $a ， b ， c \in R ， a ， b ， c - 1$ 均不为零，且 $a + b + c = 1$ ．

(1)、证明： $a b + b (c - 1) + (c - 1) a < 0$ ；

(2)、求 $(a - 2)^{2} + (b + 2)^{2} + (c + 2)^{2}$ 的最小值．

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34. 极坐标系中曲线 $T$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{c o s θ}{s i n^{2} θ}$ ，以极点为原点，极轴为 $x$ 轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 均过点 $F (1 ， 0)$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ ．

(1)、写出曲线 $T$ 的直角坐标方程；写出 $l_{1} ， l_{2}$ 的参数方程；

(2)、设直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别与曲线 $T$ 交于点 $A ， B$ 和 $C ， D$ ，线段 $A B$ 和 $C D$ 的中点分别为 $M ， N$ ，求 $| M N |$ 的最小值．

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35. 已知正实数a，b，c满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ .

(1)、求 $a + 4 b + 9 c$ 的最小值；

(2)、证明： $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{a + c}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq 2 \sqrt{a b c}$ .

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