【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：其他不等式的解法

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若集合 $M = {x ∣ \sqrt{x} < 4} ， N = {x ∣ 3 x ⩾ 1} ，$ 则 $M \cap N$ =（）

A、 ${x ∣ 0 \leq x < 2}$ B、 ${x ∣ \frac{1}{3} \leq x < 2}$ C、 ${x ∣ 3 \leq x < 16}$ D、 ${x ∣ \frac{1}{3} \leq x < 16}$

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2. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - x - 1$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是（）．

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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3. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {x | | x - 1 | \geq 1}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${- 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 2 ， 4}$

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4. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 4}$ ， $B = {x | y = \sqrt{\frac{x}{3 - x}}}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、（－2，2） B、[0，3） C、（－2，3） D、（－2，3]

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5. 已知集合 $A = {x | \frac{2 x + 1}{3 x} \geq 1}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | x \leq 0$ 或 $x > 1}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | x < 0$ 或 $x > 1}$

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6. 若不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 $[1 ， 3]$ ，则不等式 $\frac{a x + c}{c x + b} \geq 0$ 解集为（）

A、 $(- ∞ ， - 3] \cup [\frac{4}{3} ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - 3] \cup (\frac{4}{3} ， + ∞)$ C、 $[- 3 ， \frac{4}{3}]$ D、 $[- 3 ， \frac{4}{3})$

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7. 关于 $x$ 的不等式 $a (x - 1) (x - a) < 0$ 的解集可能是（）

A、 $(- \infty ， a) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (a ， + \infty)$ C、 $(1 ， a)$ D、 $\emptyset$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 的奇函数，且 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ B、 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 增区间为 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $x f (x) < 0$ 的解集为 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$

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9. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (x + \frac{1}{2})$ 为偶函数， $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上单调递增，则不等式 $f (x + 1) > f (- 1)$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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10. 不等式 $\frac{2 x + 1}{x - 2} \leq 1$ 的解集为（）

A、 $[- 3 ， 2]$ B、 $(- \infty ， - 3]$ C、 $[- 3 ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 3] ∪ (2 ， + \infty)$

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11. 命题 $p ：$ 关于x的不等式 $a x^{2} + a x - x - 1 < 0$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{a}) ∪ (- 1 ， + \infty) (\frac{1}{a} < - 1)$ 的一个必要不充分条件是（）

A、 $a \leq - 1$ B、 $a > 0$ C、 $- 2 < a < 0$ D、 $a < - 2$

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12. 已知p： $\sqrt{x - 1} > 2$ ， q： $m - x < 0$ ，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）

A、 $m < 3$ B、 $m > 3$ C、 $m < 5$ D、 $m > 5$

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二、填空题

13. 不等式 $\frac{x - 1}{x}$ ＞1的解集为．

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14. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} + x ， x < 0 \\ - x^{2} ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．

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15. 不等式 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 3} \geq 0$ 的解集是.

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16. 关于 $x$ 不等式 $a x + b < 0$ 的解集为 ${x | x > 3}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + b}{x^{2} - 4 x - 5} \geq 0$ 的解集为.

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17. 若集合 $A = {x | x - 5 \sqrt{x} + 6 > 0}$ ， $B = {x | \frac{x - 5}{x - 1} \geq 2}$ ，则 $(∁_{R} A) ∪ B =$

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18. 若 $\forall x \in R$ ， $f (x) = (x^{2} - 2) (x + b)$ 是奇函数，则 $(x^{2} - 2) (x + b) > 0$ 的解集为．

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19. 写出下列不等式的解集， $- x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ：； $\frac{1 - 2 x}{x + 4} \leq 1$ ：．

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20. 已知 $a > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $(a^{2} - 1) x^{2} + 4 x - 4 < 0$ 恰有四个整数解，则 $a$ 的取值范围是．

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21. 不等式 $\frac{x - 2}{x} > 0$ 的解集为．

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22. 不等式 $\frac{2 - x}{4 + x} \geq 1$ 的解集是.

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23. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别由下表给出：
$x$
1
2
3
4
5
$f (x)$
1
4
9
16
25
$x$
2
3
4
5
6
$g (x)$
1
3
2
4
5
则 $g (f (2)) =$ ，不等式 $f (g (x)) > 8$ 的解集为．

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24. 不等式 $\frac{x - 2}{x - 1} \leq 0$ 的解集为．

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三、解答题

25. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{x^{2} + 1}{x} ， x < 0 \\ 2^{x + 1} ， x ⩾ 0 \end{array}$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > \frac{17}{4}$ 的解集；

(2)、若 $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，且存在实数 $a$ ，使得 $g (b) + f (a) = 2$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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26. 已知函数 $f (x) = λ (x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 5) + x^{2} - x + 3$ ， $\begin{matrix} g (x) = λ (- x^{3} - x - 3) + x^{3} - x^{2} + 2 x - 1 \end{matrix}$

(1)、当 $λ = 0$ 时.解不等式 $f (x) + g (x) \geq 2 (x + 1)$ ；

(2)、记 $m a x {x ， y}$ 表示实数 $x ， y$ 中的较大者.任意的 $λ \in (0 ， 1)$ ，是否有 $m a x {| f (x) | ， | g (x) |} > \frac{10}{7}$ 恒成立？若是，请证明：否则，请说明理由.

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27. 已知函数 $f (x) = m x^{2} + m x + 3$ ， $m \in R$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 在实数集 $R$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > (3 m - 1) x + 5$ ．

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28. 解下列关于x的不等式，并将结果写成集合或区间的形式．

(1)、 $\frac{2 x - 3}{x + 1} \geq 1$ ．

(2)、 $x^{2} - (c + 2) x + 2 c < 0$ ．

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29. 已知 $y = a x^{2} + (a - 1) x - 1$ （ $a \in R$ ）.

(1)、若 $y \geq 0$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x \leq - \frac{1}{2}}$ ，求关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + 3}{x - 1} < 0$ 的解集；

(2)、若 $a < 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (a - 1) x - 1 \geq 0$ .

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30.

(1)、若 $m > 0$ ，求关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - (m + 1) x + 1 < 0$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in [1 ， 2]$ ， $m x^{2} - (m + 1) x - 1 \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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31. 定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，满足 $f (x) + g (- x) = 0$ ，且 $g (x) = l o g_{a} \frac{1 + x}{2}$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、若 $f (\frac{1}{2}) = 2$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $(- \frac{1}{3} ， m)$ ，求 $m - a$ 的值.

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32. 已知不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$ （其中 $b > 1$ ）．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $\frac{x - 1}{4 a x - b} \geq 1$ ．

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33. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a$ ， $b$ ， $c \in R)$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：① $f (x) < 5$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 4}$ ；② $f (x)$ 的最小值为 $- 4$ ；③ $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 1)$ 上是增函数.

(1)、请写出满足题意的两个条件的序号，并求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m x - 2 m - 3 (m \in R)$ 的解集.

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34. 已知不等式 $a x^{2} - (a + 2) x + b > 0$ ， $a ， b \in R$ .

(1)、若不等式的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > 2}$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若 $b = 2$ ，求该不等式的解集.

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35. 关于 $x$ 的不等式 $(x + b) (a x + 5) > 0$ 的解集为 ${x | x < - 1$ 或 $x > 3}$ ，

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + b x - 2 a < 0$ 的解集

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $\frac{x - 1}{a x - b} > 1$ 的解集．

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$x$	1	2	3	4	5
$f (x)$	1	4	9	16	25

$x$	2	3	4	5	6
$g (x)$	1	3	2	4	5