【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：简单线性规划2

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y ⩾ 2 ， \\ x + 2 y ⩽ 4 ， \\ y ⩾ 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值是（）

A、 $- 2$ B、4 C、8 D、12

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2. 若实数x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ 2 x + 3 y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - \frac{1}{2} y$ 的最小值是（）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{10}$

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3. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 4 \\ x - y \leq 2 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ ，则z=3x+y的最小值为（）

A、18 B、10 C、6 D、4

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4. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y + 1 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \leq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \end{array}$ ，则下列目标函数中最大值为 $0$ 的是（）

A、 $z = 3 y - x + 5$ B、 $z = 3 y - x - 5$ C、 $z = 3 y - x + 4$ D、 $z = 3 y - x - 4$

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5. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 1 \leq 0 \\ x + y - 5 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的（）

A、最大值为4 B、最小值为4 C、最大值为5 D、最小值为5

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6. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \geq 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为（）

A、3 B、7 C、8 D、10

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7. 若非负数x，y满足 ${\begin{array}{l} | x - y | \leq 1 \\ x + y \leq 3 \end{array}$ ，则事件“ $2 x + y \geq 4$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{15}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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8. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 2 ， \\ x + y \geq 1 ， \\ x - 2 y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、3 D、5

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9. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 2 \\ y - x \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq - 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + y$ 的最小值为（）

A、2 B、－3 C、－2 D、0

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11. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 2 \\ \begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 \\ 4 x - y \leq 4 \end{array} \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + 3 y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、14 C、 $\frac{22}{9}$ D、10

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12. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 \\ 5 x + 2 y \geq 2 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的取值范围（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $[9 ， + \infty)$

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13. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} 3 x + y + 1 \geq 0 \\ 2 x + 3 y - 4 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $2 x - y$ 的最小值为（）

A、-3 B、-1 C、0 D、-4

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二、填空题

14. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} \begin{array}{l} 2 x + 3 y - 6 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array} \\ y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则，z=3x-y的最大值是。

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15. 若x，y满足 ${\begin{cases} x \leq 2 \\ y \geq - 1 \\ 4 x - 3 y + 1 \geq 0 \end{cases}$ .则y-x的最小值为，最大值为.

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16. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x \leq 0 ， \\ 2 x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $\frac{y - 2}{x - 1}$ 的取值范围是．

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17. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 2 \\ x - y \leq 0 \\ y \leq 4 \end{array}$ ，表示的可行域的面积等于， $z = | x | + | y |$ 的最大值是.

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18. 若 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是.

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19. 2022年中央一号文件公布，提出全面推进乡镇村振兴中点工作，而实施乡村振兴战略关键在教育．某乡村建有农业科技图书馆供村民免费借阅，现有近5年的借阅数据如下表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
年借阅量y（万册）
4.8
5.2
5.4
5.7
5.9
根据上表所得y关于x的线性回归方程为： $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则预计2022年借阅量大约为万册（精确到小数点后两位）．

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20. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \leq 4 ， \\ x + y \geq 2 ， \\ y \leq 2 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最小值为.

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21. 已知 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y - 2 \leq 0 \\ x + 2 y - 5 \geq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{x + y + 2}{x + 1}$ 的取值范围是．

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22. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} 3 x - y - 2 \geq 0 \\ 8 x - 5 y \leq 0 \\ y \leq 4 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为.

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23. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y \geq 0 \\ 2 x - y + 3 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x - 5 y$ 的最小值是.

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24. 某蔬菜基地要将120吨新鲜蔬菜运往上海，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装蔬菜20吨，每辆乙型货车运输费用300元，可装蔬菜10吨，若每辆车至多只运一次，则该蔬菜基地所花的最少运输费用为元．

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25. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y ⩽ 0 \\ x + 2 ⩾ 0 \\ 2 x + y ⩽ 3 \end{array}$ ，则 $x - 2 y$ 的最大值是．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = (3 x - 1) a - 2 x + b$ ．

(1)、若 $f (\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}$ ，且 $a > 0 ， b > 0$ ，求 $a b$ 的最大值；

(2)、当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) \leq 1$ 恒成立，且 $2 a + 3 b \geq 3$ ，求 $z = \frac{a + b + 2}{a + 1}$ 的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = (3 x - 1) a - 2 x + b$ ．

(1)、若 $f (\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}$ ，且 $a > 0 ， b > 0$ ，求 $a b$ 的最大值；

(2)、当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) \leq 1$ 恒成立，且 $2 a + 3 b \geq 3$ ，求 $z = \frac{a + b + 2}{a + 1}$ 的取值范围．

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28. 某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损30%的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为x（x≥0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y≥0）千万元．

(1)、利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望Eξ．

(2)、为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．

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29. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ .

(1)、画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积；

(2)、若目标函数 $z = a x + b y (a > 0 ， b > 0)$ 的最大值为4，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{3 b}$ 的最小值.

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30. 近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中 $P M 2.5$ 指数的监测数据，统计结果如下：
$PM 2.5$
$[0, 50]$
$(50 ， 100]$
$(100 ， 150]$
$(150 ， 200]$
$(200 ， 250]$
$(250 ， 300]$
$> 300$
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 $S$ (单位：元)， $P M 2.5$ 指数为 $x$ .当 $x$ 在区间 $[0 ， 100]$ 内时对企业没有造成经济损失；当 $x$ 在区间 $(100 ， 300]$ 内时对企业造成经济损失成直线模型（当 $P M 2.5$ 指数为150时造成的经济损失为500元，当 $P M 2.5$ 指数为200 时，造成的经济损失为700元)；当 $P M 2.5$ 指数大于300时造成的经济损失为2000元.

非重度污染
重度污染
合计
供暖季

非供暖季

合计

100

(1)、试写出 $S (x)$ 的表达式；

(2)、试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 $S$ 大于500元且不超过900元的概率；

(3)、若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有 $95 %$ 的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？

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31. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品甲的销售收入为3千元，每件产品乙的销售收入为4千元．这两种产品都需要在A，B两种不同的设备上加工，按工艺规定，一件产品甲和一件产品乙在各设备上需要加工工时如表所示：
设备
产品
A
B
甲
2h
1h
乙
2h
2h
已知A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400h、300h（一台设备工作一小时称为一台时）．分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数．
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使每月的收入最大？并求出此最大收入．

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32. 已知不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 y + 1 \geq 0 \\ x \leq 2 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域为D，则

(1)、z=x²+y²的最小值为．

(2)、若函数y=|2x﹣1|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是．

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33. 某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？

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34. 某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？

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35. 已知不等式组 ${\begin{matrix} x - y + 6 = 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ ，

(1)、求此不等式组表示的平面区域的面积；

(2)、求 $z_{1} = 2 x - 3 y$ 的最大值；

(3)、求 $z_{2} = \frac{y + 3}{x + 1}$ 的取值范围.

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36. 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省．

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年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码x	1	2	3	4	5
年借阅量y（万册）	4.8	5.2	5.4	5.7	5.9

$PM 2.5$	$[0, 50]$	$(50 ， 100]$	$(100 ， 150]$	$(150 ， 200]$	$(200 ， 250]$	$(250 ， 300]$	$> 300$
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天数	4	13	18	30	9	11	15

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100