【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：简单线性规划 1

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 7 \leq 0 ， \\ x - y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x + 4 y$ 的最大值是（）

A、20 B、18 C、13 D、6

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2. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 0 \\ x + 2 y - 5 \geq 0 \\ 3 x + y - 10 \leq 0 \end{array}$ 则 $z = x^{2} + y^{2}$ 的最大值是（）

A、5 B、10 C、 $2 \sqrt{5}$ D、20

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3. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 2 \leq 0 ， \\ x - 2 y - 2 \geq 0 ， \\ x \geq 0 ， \end{array}$ 则 $y - 3 x$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{8}{3}$ B、-2 C、-1 D、1

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4. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \\ x \leq 3 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值是（）

A、-3 B、-6 C、-7 D、12

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5. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 1 \\ x \leq 2 \\ x + y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = - 2 x + y$ 的最小值为（）

A、3 B、-3 C、-8 D、-6

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6. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y - 3 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ 2 x + y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2]$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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7. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 3 ， \\ x + y \geq 0 ， \\ x - y + 2 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $| x - 2 y |$ 的最大值是（）

A、5 B、6 C、7 D、9

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8. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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9. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、11 D、无最小值

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10. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 3 \leq 0 \\ 3 x - y + 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{11}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

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11. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ y \leq 1 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、3

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二、填空题

12. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} - 2 x + 3 y \leq 3 \\ 3 x - 2 y \leq 3 \\ x + y \geq 1 \end{array}$ ，设 $z = 3 x + 2 y$ ，则z的最大值为．

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13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y \leq 3 ， \\ - 2 x + 3 y \leq 3 \\ x + y \geq 1 ， \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为．

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14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 3 y \leq - 1 \\ x + 2 y \leq 9 \\ 3 x + y \geq 7 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为.

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15. 如果x，y满足 ${\begin{array}{l} x \leq 2 \\ y \geq - 1 \\ x - y \geq 0 \end{array}$ ，则 $2 y - x$ 的最小值为．

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16. 若 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值是．

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17. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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18. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 4 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $z = x^{2} + {(y - 4)}^{2}$ 的最小值为．

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19. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x > 0 \\ x - 2 y \leq - 2 \\ x + y \leq 7 \end{array}$ ，则 $z = x - y$ 的最大值是.

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20. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y + 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为．

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21. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq 0 ， \\ x \leq 5 ， \\ y \leq l n x ， \end{array}$ 则 $z = \frac{y}{x}$ 的最大值为.

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22. 设 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y - 5 \geq 0 \\ x \leq 2 \\ y \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = - 2 x + y$ 的最小值为.

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23. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，点 $M ､ N$ 分别为 $D D_{1} ､ B C$ 边的中点， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上动点，若直线 $B M$ 与面 $C_{1} P N$ 的交点位于 $△ C_{1} P N$ 内（包括边界），则所有满足要求的点 $P$ 构成的图形面积为.

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24. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} | x | \leq 3 ， \\ | y | \leq 4 ， \end{array}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最大值为.

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三、解答题

25. 已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax³﹣2bx﹣a+b．

(1)、证明：当0≤x≤1时，
（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；
（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；

(2)、若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．

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26. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，本届冬奥会的关注度已经超越了以往历届冬奥会．北京冬奥会国家速滑馆（“冰丝带”）承办了本届奥运会的部分冰上项目比赛．速度滑冰、冰球、花样滑冰项目中，运动员在冰面上急转急停时，冰刀会对冰面造成损伤，因此为给运动员们提供及时优质的冰面保障，每个比赛曰都需要及时补冰．已知，场馆室内温度的变化对于补冰量具有一定的影响，在赛事举办期间随机挑选五天，对场馆室内温度与补冰量进行测量，得到如下相关数据表：

比赛日编号	1	2	3	4	5
场馆室内温度x（单位：℃）	10	11	13	12	8
补冰量y（单位：L）	23	25	30	26	16

附：样本 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ， n)$ 的最小二乘法估计公式为

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、从这5个比赛日中任选2天，记这2个比赛日补冰量分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；

(2)、利用编号为2，3，4的3组相关数据，建立y关于x的线性回归方程，根据此回归方程，求场馆室内温度为10℃时的补冰量的估计值，并计算该估计值与测量值之差的绝对值．

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27. 已知点集 ${M = (x ， y) | {\begin{array}{l} x \geq y ， \\ x + y \leq 2 ， \\ y \geq 0 \end{array}}$ 表示的区域面积为 $m$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = m$ ，求 $\frac{a^{2} + 1}{a} + \frac{b^{2} + 4}{b}$ 的最小值.

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28. 已知 $f (x) = x^{2} + m x + n - m$ .

(1)、若 $n = 3$ ，对一切 $x \in R$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $f (2) = 5$ ，求 $\frac{1}{1 - m} + \frac{1}{1 - n}$ 的最小值.

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29. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ y \geq x \end{array}$ ．

(1)、在如图所示的正方形网格（边长为1个单位长度的正方形）中画出上述不等式组表示的平面区域，并在图中标出相应直线的方程；

(2)、求 $z = \frac{y}{x + 2}$ 的取值范围.

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30. 已知O，A，B为平面上三点，若 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 2$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2$ ，动点P和实数 $λ$ ， $μ$ 满足 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ， $1 \leq λ \leq 2$ ， $2 \leq μ \leq 4$ ，则动点P轨迹的测度是.（注：当动点的轨迹是曲线时，其测度指其长度；当动点的轨迹是平面区域时，其测度指该区域面积.）

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31. 2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量

y

（单位：万只）与相应年份代码

x

的数据如下表：

年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码 $x$	1	2	3	4	5	6
售卖山羊数量 $y$ （万只）	11	13	16	15	20	21

(1)、由表可知

y

与

x

有较强的线性相关关系，求

y

关于

x

的线性回归方程；

(2)、已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为

2 : 3

，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：

养殖时间（月数）	6	7	8	9
甲品种山羊（只）	20	35	35	10
乙品种山羊（只）	10	30	40	20

以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全部及时卖完）.（利润=卖山羊的收入一山羊的养殖成本）

参考公式及数据：回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \overset{⌢}{b} \bar{x}$ .

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32.

(1)、求不等式 $\frac{x - 2}{x^{2} + 3 x + 2} \geq 0$ 的解集；

(2)、设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 3 ， \\ x - y \geq - 1 ， \\ y \geq 1 ， \end{array}$ 求目标函数 $z = 4 x + 2 y$ 的最大值.

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33. 用平面区域表示下列不等式组.

(1)、 ${\begin{array}{l} x \geq y \\ 3 x + 4 y - 12 < 0 \end{array}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} x - y + 5 \geq 0 \\ x + y + 1 > 0 \\ x \leq 3 \end{array}$

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34. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 3 x - y - 5 \leq 0 \end{array}$ ，求：
（Ⅰ） $z = 2 x + y$ 的最小值；

（Ⅱ） $z = \frac{y + x}{x}$ 的最大值；（Ⅲ） $x^{2} + y^{2}$ 的的最小值．

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35. 某厂生产 $A$ 和 $B$ 两种产品，按计划每天生产 $A ， B$ 各不得少于10吨，已知生产 $A$ 产品 $1$ 吨需要用煤9吨，电4度，劳动力3个(按工作日计算).生产 $B$ 产品1吨需要用煤4吨，电5度，劳动力10个，如果 $A$ 产品每吨价值7万元， $B$ 产品每吨价值12万元，而且每天用煤不超过300吨，用电不超过200度，劳动力最多只有300个，每天应安排生产 $A ， B$ 两种产品各多少才是合理的？

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