【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：二元一次不等式（组）与平面区域

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 5 \geq 0 \\ x + y + 2 < 0 \end{array}$ 表示的平面区域是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若实数x，y满足不等式组 ${\begin{cases} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{cases}$ ，则2x+y的最小值是（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、0 D、-3

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3. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - 1 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则y的最大值是 $($ 　　 $)$

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 记不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 3 \leq 0 ， \\ x + y + 1 \leq 0 ， \\ x + 3 \geq 0 \end{array}$ 的解集为D，现有下面四个命题：
$p_{1} ： \forall (x ， y) \in D$ ， $2 x - y + 8 \geq 0$ ； $p_{2} ： \exists (x ， y) \in D$ ， $x - 2 y + 4 > 0$ ；
$p_{3} ： \forall (x ， y) \in D$ ， $x + y + 3 > 0$ ； $p_{4} ： \exists (x ， y) \in D$ ， $x + 3 y - 3 \leq 0$ ．
其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 设实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \leq 1 \\ 2 x + y \geq - 1 \\ x - y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - 2 y$ 的最大值（）

A、-5 B、5 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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6. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ B、 $[- 5 ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， 6]$ D、 $[\frac{3}{2} ， 6]$

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7. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ y \geq | 2 x - 1 | \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{4}{3}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[\frac{4}{3} ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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8. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} y \geq 2 | x | - 1 \\ y \leq x + 1 \end{array}$ 且 $z = k x + y$ （k为常数）取得最大值的最优解有无数多个，则k的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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9. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 ， \\ x - y - 3 \leq 0 ， \\ 3 x + y - 3 \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值是（）

A、4 B、10 C、6 D、8．

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10. 在圆 $(x - 2)^{2} ＋ (y - 2)^{2} ＝ 4$ 内任取一点，则该点恰好在区域 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 5 \geq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{array}$ 内的概率为（）

A、 $\frac{1}{8 π}$ B、 $\frac{1}{4 π}$ C、 $\frac{1}{2 π}$ D、 $\frac{1}{π}$

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11. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 5 \geq 0 ， \\ x - y + 2 \leq 0 ， \\ y \leq 4 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x - 2 y$ 的最小值为（）

A、-5 B、 $- \frac{7}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、-2

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12. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \end{matrix}$ ，则z=3x+2y的最大值为．

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14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=3x﹣4y的最小值为

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15. 已知点 $A (\sqrt{3} ， 0)$ ， $B (1 ， 2)$ ，动点P满足 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ， $λ + μ \in [1 ， 2]$ ，则所有的点P构成的图形面积为．

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16. 已知x，y满足 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = x - y$ 的最小值为．

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17. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 2 \\ x + 2 y \leq 11 \\ - x + y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值是，最大值是.

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18. 已知实数x，y满足条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y - a \leq 0 \end{array}$ ，若目标函数 $z = x + 2 y$ 的最大值为6，则实数 $a =$ ．

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19. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 y - x$ 的最大值为．

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20. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 ， \\ 2 x - y + 2 \geq 0 ， \\ y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x - y$ 的最大值为.

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21. 已知点 $P (x ， y)$ 在不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 ， \\ y - 1 \leq 0 ， \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，表示的平面区域上运动，则 $z = x - y$ 的取值范围是

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22. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 3 \\ 2 x + y \geq 3 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值是．

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23. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 3 y + 3 ⩾ 0 \\ x - y - 1 ⩽ 0 \\ y - 1 ⩾ 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{1}{3} x + y$ 的最大值为．

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24. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} y \geq 0 \\ 4 x ＋ 3 y - 4 \geq 0 \\ x ＋ 2 y - 4 \leq 0 \end{array}$ 表示的平面区域是一个三角形区域，则该三角形区域的面积为.

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三、解答题

25. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13分）

（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

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26. 某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m² ，可做文字标牌1个和绘画标牌2个；乙种规格原料每张2m² ，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.

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27. 正定中学组织东西两校学生，利用周日时间去希望小学参加献爱心活动，东西两校均至少有1名同学参加．已知东校区的每位同学往返车费是3元，每人可为5名小学生服务；西校区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位小学生服务．如果要求西校区参加活动的同学比东校区的同学至少多1人，且两校区同学去希望小学的往返总车费不超过37元．怎样安排东西两校参与活动同学的人数，才能使受到服务的小学生最多?受到服务的小学生最多是多少？

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28. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ．

(1)、作出可行域；

(2)、求 $z = 2 x + y$ 的最值；

(3)、求 $z = {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}$ 的最值．

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29. 某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种型号的车辆的载客量分别是32人和48人，从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的车队，并要求 $B$ 种型号的车不多于 $A$ 种型号的车5辆．若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人，为使公司从甲地到乙地的营运成本最小，应配备A、B两种型号的车各多少辆？并求出最小营运成本．

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30. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \leq 0 \end{array}$ ，求：

(1)、 $z = y - 3 x$ 的最大值．

(2)、 $z = \frac{y + 2}{x + 5}$ 的最小值．

(3)、 $z = {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}$ 的最大值．

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31. 雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 $100 %$ 和 $60 %$ ，可能的最大亏损率分别为 $20 %$ 和 $10 %$ ，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过 $1.4$ 万元．
（Ⅰ）若投资人用x万元投资甲项目，y万元投资乙项目，试写出x，y所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x，y范围的图形．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

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32. 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 $A ， B ， C$ 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有 $A$ 种原料 200 吨， $B$ 种原料 360 吨， $C$ 种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用 $x ， y$ 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

原料

肥料

$A$

$B$

$C$

甲

4

8

3

乙

5

5

10

(1)、用 $x ， y$ 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)、问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润。

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33. 设 $z = 2 y - 2 x + 4$ ，式中 $x ， y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 2 \\ 2 y - x \geq 1 \end{array}$ ，求 $z$ 的最大值和最小值.

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34. 某企业生产 $A$ 、 $B$ 两种产品，生产每 $1 t$ 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：

产品品种

劳动力（个）

煤 $(t)$

电 $(k W \cdot h)$

$A$

$3$

$9$

$4$

$B$

$10$

$4$

$5$

已知生产 $1 t A$ 产品的利润是 $7$ 万元，生产 $1 t B$ 产品的利润是 $12$ 万元.现因条件限制，企业仅有劳动力 $300$ 个，煤 $360 t$ ，并且供电局只能供电 $200 k W \cdot h$ ，则企业生产 $A$ 、 $B$ 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？

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35. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{array}$ .

(1)、求目标函数 $z = x - y$ 的最大值；

(2)、若目标函数 $z = a x + b y (a > 0 ， b > 0)$ 的最大值为6，求 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值.

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	连续剧播放时长（分钟）	广告播放时长（分钟）	收视人次（万）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

产品品种	劳动力（个）	煤 $(t)$	电 $(k W \cdot h)$
$A$	$3$	$9$	$4$
$B$	$10$	$4$	$5$