【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：二元一次不等式的几何意义

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 不等式组 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x - 2 y \leq 4 \end{matrix}$ 的解集记为D，有下列四个命题：
p₁：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2          p₂：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p₃：∀（x，y）∈D，x+2y≤3           p₄：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（    ）

A、p₂ ， p₃ B、p₁ ， p₄ C、p₁ ， p₂ D、p₁ ， p₃

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2. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则（）

A、目标函数 $z = x - y$ 的最小值为0 B、目标函数 $z = x + y$ 的最小值为0 C、目标函数 $z = {(x + 1)}^{2} + y^{2}$ 的最小值为5 D、目标函数 $z = {(x + 1)}^{2} + y^{2}$ 的最小值为 4

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3. 下列各点中，在二元一次不等式 $x - y + 1 < 0$ 所表示的平面区域内的是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(2 ， 0)$

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4. 若实数x、y满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \leq 0 ， \\ x > 0 ， \end{matrix}$ 则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是（）

A、(0，1) B、 $(0 ， 1]$ C、(1，+ $\infty$ ) D、 $[1 ， + \infty)$

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5. 已知约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ k x - y \leq 0 \end{matrix}$ 表示面积为 $1$ 的直角三角形区域，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $- 2$

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6. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y + 1 \leq 0 \\ 3 x - 2 y + 3 \geq 0 \\ 3 x + y - 6 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $| x + 3 y |$ 的最大值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知动点 $P$ 的横坐标 $x$ 、纵坐标 $y$ 满足：① $x \cos α + y \sin α = 1 (α \in R)$ ；② $x^{2} + y^{2} \leq 4$ ，那么当 $α$ 变化时，点 $P$ 形成的图形的面积为（）

A、 $π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $4 - π$

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9. 点 $P (m ， 1)$ 不在不等式 $x + y - 2 < 0$ 表示的平面区域内，则实数m的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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10. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x \geq 2 ， \\ 3 x - y \geq 1 ， \\ y \geq x + 1 ， \end{cases}$ 则下列不等式恒成立的是（）

A、 $x \geq 3$ B、 $y \geq 4$ C、 $x + 2 y - 4 \geq 0$ D、 $2 x - y + 1 \geq 0$

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11. 设实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x - 2 y - 5 \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ 3 x + y - 10 \geq 0 \end{cases}$ ，则 $z = x^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $10$ C、 $8$ D、 $5$

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二、填空题

12. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 4 \\ x - y \geq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}}$ 的最小值为.

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13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y - 6 \geq 0 \\ x - y + 2 \leq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y + 2$ 的最大值为.

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14. 若二元一次方程 $3 x - y = 7$ ， $2 x + 3 y = 1$ ， $y = k x - 9$ 有公共解，则实数k=.

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15. 动点 $P (x ， y)$ 在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点 $O$ 沿东偏北 $α (0 \leq α \leq \frac{π}{2})$ 方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定 $P (x ， y)$ 速度为10米/分钟，则当 $α$ 变化时 $P (x ， y)$ 行走2分钟内的可能落点的区域面积是．

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16. 点 $P (- 2 ， t)$ 在直线 $2 x - 3 y + 6 = 0$ 的上方，则实数 $t$ 的取值范围是．

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17. 坐标原点与点 $(- 2 ， 1)$ 分别在直线2x−3y+ $t$ ＝0的两侧，则 $t$ 的取值范围是．

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18. 若点P（m，3）在不等式2x+y＜4表示的平面区域内，则m的取值范围为．

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19. 已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，则下列说法正确的序号是
①2a﹣3b+1＞0
②a≠0时， $\frac{b}{a}$ 有最小值，无最大值
③ $a > 1$ 且a≠1， $b > 0$ ， $\frac{b}{a - 1}$ 的取值范围为（﹣∞，﹣ $\frac{1}{3}$ ）∪（ $\frac{2}{3} ， + \infty$ ）
④存在正实数M，使 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} > M$ 恒成立．

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20. 若点P（a，3）在直线2x﹣y=3的下方，则实数a的取值范围是．

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21. 不等式x﹣2y+6＞0表示的区域在直线x﹣2y+6=0的（填“右上方”“右下方”“左上方”“左下方”）

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22. 原点与点（1，1）在直线2x﹣y+a=0的两侧，则a的取值范围为．

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23. 若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．

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24. 向量 $\vec{O A}$ =（1，0）， $\vec{O B}$ =（1，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足 $\{\begin{matrix} 0 \leq \vec{O P} \cdot \vec{O A} \leq 1 \\ 0 \leq \vec{0 P} \cdot \vec{O B} \leq 2 \end{matrix}$ ，则点Q（x+y，y）构成图形的面积为．

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三、解答题

25. 将甲、乙两颗骰子先后各抛一次， $a 、 b$ 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.图中三角形阴影部分的三个顶点为 $(0 ， 0)$ 、 $(4 ， 0)$ ）和 $(0 ， 4)$ .

(1)、若点 $Q (a ， b)$ 落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件 $A$ 的概率；

(2)、若点 $Q (a ， b)$ 落在直线 $x + y = m$ （ $m$ 为常数）上，且使此事件的概率p最大，求m和p的值.

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26. 已知 $m$ 为实数，设复数 $z = (m^{2} + 5 m + 6) + (m^{2} - 2 m - 15) i$ ．

(1)、当复数 $z$ 为纯虚数时，求 $m$ 的值；

(2)、当复数 $z$ 对应的点在直线 $x - y + 7 = 0$ 的下方，求 $m$ 的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2 a$ ， $f (x) \leq 0$ 的解集为 ${x | - 2 \leq x \leq m}$ .

(1)、求 $a ， m$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $(c + a) x^{2} + 2 (c + a) x - 1 < 0$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围.

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28. 若x，y满足约束条件 $\{\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ - x + y \leq 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{matrix}$ ．
（1）求目标函数z= $\frac{1}{2}$ x﹣y+ $\frac{1}{2}$ 的最值；
（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．
（3）求点P（x，y）到直线y=﹣x﹣2的距离的最大值；
（4）z=x²+y²﹣10y+25的最小值；
（5）z= $\frac{2 y - 1}{x + 1}$ 的范围．

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29. 已知点A（1，2）是二元一次不等式2x﹣By+3≥0所对应的平面区域内的一点，求实数B的取值范围．

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30. 某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种，A型号的帐篷比B型号少5顶，若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够，每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满，若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够，每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．

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