【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：二元一次不等式组

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y + 3 = 0 \\ x - y = 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 2 \end{array}$ B、 $(- 1 ， - 2)$ C、 ${(- 1 ， - 2)}$ D、 ${- 1 ， - 2}$

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2. 若 $max {s_{1}, s_{2}, ..., s_{n}}$ 表示实数 $s_{1}, s_{2}$ ，…， $s_{n}$ 中的最大者.设 $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), B = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}]$ ,记 $A \otimes B = max {a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, a_{3} b_{3}}$ .设 $A = (x - 1, x + 1, 1), B = [\begin{matrix} 1 \\ x - 2 \\ | x - 1 | \end{matrix}]$ ，若 $A \otimes B = x - 1$ ，则 $x$ 的取值范围为（）

A、 $[1 - \sqrt{3} ， 1]$ B、 $[1 ， 1 + \sqrt{2}]$ C、 $[1 - \sqrt{2} ， 1]$ D、 $[1 ， 1 + \sqrt{3}]$

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3. 《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上､下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为 $x$ 升和 $y$ 升，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{matrix} 6 x + 18 = 10 y \\ 15 y + 5 = 5 x \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 6 x - 18 = 10 y \\ 15 y - 5 = 5 x \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 6 x - 18 = 15 y \\ 15 y - 5 = 5 x \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 6 x + 18 = 15 y \\ 15 y + 5 = 5 x \end{matrix}$

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4. 已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x^{2} - 2 x - 8 > 0 \\ 2 x^{2} + (2 k + 7) x + 7 k < 0 \end{array}$ 仅有一个整数解，则k的取值范围为（）

A、 $(- 5, 3) \cup (4, 5)$ B、 $[- 5, 3) \cup (4, 5]$ C、 $(- 5, 3] \cup [4, 5)$ D、 $[- 5, 3] \cup [4, 5]$

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5. 分解因式 $a^{2} b - b^{3}$ 结果正确的是（）

A、 $b (a + b) (a - b)$ B、 $b {(a - b)}^{2}$ C、 $b (a^{2} - b^{2})$ D、 $b {(a + b)}^{2}$

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6. 若 $0 < a < 1$ ，则不等式 $(a - x) (x - \frac{1}{a}) > 0$ 的解是（）

A、 $a < x < \frac{1}{a}$ B、 $\frac{1}{a} < x < a$ C、 $x < a$ 或 $x > \frac{1}{a}$ D、 $x < \frac{1}{a}$ 或 $x > a$

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7. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 3 y + 3 \geq 0 \\ 2 x + y - 8 \leq 0 \\ x + 4 y - 4 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最大值是（）

A、9 B、8 C、3 D、4

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8. 若不等式 $1 < a - b \leq 2$ ， $2 \leq a + b < 4$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $[5 ， 10]$ B、 $(5 ， 10)$ C、 $[3 ， 12]$ D、 $(3 ， 12)$

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9. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y - 1 \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 3$ D、 $0$

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10. 设 $a > 0$ ，若关于 $x$ ， $y$ 的不等式组 ${\begin{matrix} a x - y + 2 \geq 0 ， \\ x + y - 2 \geq 0 ， \\ x - 2 \leq 0 ， \end{matrix}$ 表示的可行域与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ 存在公共点，则 $z = x + 2 y$ 的最大值的取值范围为（）

A、 $[8 ， 10]$ B、 $(6 ， + \infty)$ C、 $(6 ， 8]$ D、 $[8 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“支教队伍的职称只有小学中级､小学高级､中学中级､中学高级四种（每种职称至少有1人）.其中，中学教师不多于小学教师，小学高级教师少于中学中级教师，小学中级教师少于小学高级教师，无论是否把我计算在内，以上条件都成立.”由队长的叙述可以推测出他的职称是.

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12. 已知， $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = | x^{2} - 4 π x + 3 π^{2} | + π | c o s x |$ .若不等式 $| f (x) \geq | a x + b |$ 对于任意实数 $x$ 恒成立，则 $a b$ 的最小值是，最大值是.

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13. 已知 $M = {(x ， y) | x + y = 2}$ ， $N = {(x ， y) | x - y = 4}$ ，则 $M \cap N =$ .

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14. 若二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 5 x - y = 5 \\ y = \frac{1}{5} x \end{array}$ 的解为x＝a，y＝b，则a＋b的值为.

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15. 如图所示，函数 $y = f (x)$ 的图象由两条射线和三条线段组成．若 $\forall x \in R$ ， $f (x) > f (x - 1)$ ，则正实数a的取值范围是．

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16. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 ， \\ 2 x - y \leq 0 ， \\ 3 x - 2 y + 2 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 3 x - y$ 的最小值为．

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17. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x - 3 y + 5 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 4 \leq 0 ， \\ y + 2 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = x + y$ 的最小值为．

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18. 若关于x的不等式组 ${\begin{matrix} x^{2} - x - 2 > 0 \\ 2 x^{2} + (2 k + 5) x + 5 k < 0 \end{matrix}$ 的整数解集为{﹣2}，则实数k的取值范围是．

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19. 如果（5，a）在两条平行直线6x﹣8y+1=0和3x﹣4y+5=0之间，则整数a的值为

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20. 已知关于x的不等式组1≤kx²+2x+k≤2有唯一实数解，则实数k的取值集合

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21.
如果关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围．

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三、解答题

22. 设a∈R，已知函数f(x)= ${\begin{cases} a x^{2} + (2 a - 4) x + 2, x \leq 0, \\ \frac{1}{x} + a + | x - 1 |, x > 0 \end{cases}$
(Ⅰ)当a=1时，写出f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)对任意x≤2，不等式f(x)≥(a-1)x+2恒成立，求实数a的取值范围．

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23.

(1)、设数轴上点 $A$ 与数 $3$ 对应，点 $B$ 与数 $x$ 对应，已知线段 $A B$ 的中点到原点的距离不大于 $5$ ，求 $x$ 的取值范围；

(2)、求方程组 ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 5 \\ y = x + 1 \end{array}$ 的解集.

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24. 已知函数 $g (x) = a^{x - 1} - 1$ （a是常数， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像过定点 $(m ， n)$ ，函数 $f (x) = m x + \frac{4}{x} + n$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、解不等式 $f (x^{2} - 2 x + 4) + f (- 7) \leq 0$ .

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25. 设p：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0$ ，其中 $a > 0$ ，命题q：实数x满足 ${\begin{array}{l} x^{2} - x - 6 \leq 0 \\ x^{2} + 2 x - 8 > 0 \end{array}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；

(2)、若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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26. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1 ， a \in R$

(1)、当 $a > 0$ 时，求函数 $y = \sqrt{f (x)}$ 的定义域；

(2)、若存在 $m > 0$ 使关于x的方程 $f (| x |) = m + \frac{1}{m}$ 有四个不同的实根，求实数a的取值范围.

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27. 电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.

(1)、设每周安排连续剧甲 $x$ 次，连续剧乙 $y$ 次，列出 $x$ ， $y$ 所应该满足的条件；

(2)、应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？

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28. 本公司计划2018年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 $500$ 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

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