【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：一元二次不等式与一元二次方程

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 解集为 ${x | - 1 < x < 4}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{4}{3}}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{4} < x < 1}$

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2. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ ，不等式 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集为 $(\frac{3 (1 - \sqrt{5})}{2} ， 0) ∪ (0 ， \frac{3 (1 + \sqrt{5})}{2})$ ，则不等式 $f (x) \leq - 27$ 的解集为（）

A、 ${x | x \leq - 3$ 或 $x = 3}$ B、 ${x | x \leq 3}$ C、 ${x | x \geq - 3}$ D、 ${x | x \geq 3$ 或 $x = - 3}$

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3. 若命题“ $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + m \leq 0$ ”是真命题，则实数m的取值范围是（）

A、 $m < 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $m > 1$ D、 $m \geq 1$

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4. 已知不等式 $a x^{2} + b x - 3 < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ，则不等式 $b x + 1 + a > 0$ 的解集为（）

A、 $R$ B、 $\emptyset$ C、 ${x | x < 1}$ D、 ${x | x > 1}$

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5. 关于x的一元二次不等式 $a x^{2} + b x - 2 < 0$ 的解集为 $(- 2 ， \frac{1}{3})$ ，则 $a + b =$ （）．

A、 $- 8$ B、 $- 2$ C、2 D、8

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6. 甲、乙两人解关于x的不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ ，甲写错了常数b，得到的解集为 ${x | - 6 < x < 1}$ ；乙写错了常数c，得到的解集为 ${x | 1 < x < 4}$ ．那么原不等式的解集为（）

A、 ${x | 1 < x < 6}$ B、 ${x | - 1 < x < 4}$ C、 ${x | - 4 < x < 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 6}$

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7. 已知集合 $A = {x | x (x - 1) (x + 1) = 0}$ ，则 $A =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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8. 若关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} + m x + 1 \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 ${m | m \leq - 2$ 或 $m \geq 2}$ B、 ${m | - 2 \leq m \leq 2}$ C、 ${m | m < - 2$ 或 $m > 2}$ D、 ${m | - 2 < m < 2}$

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9. 若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程 $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ 的一个根，则这个三角形的周长为（）

A、7 B、3或7 C、15 D、11或15

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10. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的方程 $2^{2 x} + b \times 2^{x} + c = 0$ 的两个实数根，且 $x_{1} + x_{2} = 4$ ，则实数b的取值范围是（）

A、 $[4 ， + \infty)$ B、 $(- ∞ ， - 8]$ C、 $(- \infty ， - 4]$ D、 $(- ∞ ， - 8] \cup [8 ， + ∞)$

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二、填空题

11. 已知不等式 $a x^{2} - b x - 1 ⩾ 0$ 的解集是 ${x ∣ \frac{1}{3} ⩽ x ⩽ \frac{1}{2}}$ ，则 $a + b =$ .

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12. 若一元二次不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ ，则 $a + b$ 的值是．

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13. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(α ， β) (α β < 0)$ ，则关于x的不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为．

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14. 已知不等式x²+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝．

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15. 已知命题“ $\exists x \in [- 6 ， - 1]$ ， $x^{2} - m x + 4 ⩾ 0$ ”是假命题，则m的取值范围是.

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16. 对任意 $x \in R$ ，一元二次不等式 $(k - 1) x^{2} + (k - 1) x - \frac{3}{8} < 0$ 都成立，则实数k的取值范围为．

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17. 若不等式 $a x^{2} + x + b > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ ，则a+b=.

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18. 设 $a ， b ， c$ 为常数，且 $a > 0$ ，若不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是 $(- 2 ， 3)$ ，则不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集是.

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19. 若关于x的不等式ax＞b的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{5})$ ，则关于x的不等式ax²＋bx－ $\frac{4}{5}$ a＞0的解集为.

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20. 若不等式 $a x^{2} + b x + 4 > 0$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 1}$ ，则 $a + b =$ .

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三、解答题

21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ 的图象过点 $(1 ， 0)$ ，且对 $\forall x \in R$ ， $f (2 - x) = f (2 + x)$ 恒成立.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $x \in [\frac{1}{e^{2}} ， e^{4}]$ ，不等式 $f (l n x) \geq m l n x$ 恒成立，求m的最小值.（其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （a，b， $c \in R$ ）有最小值 $- 4$ ，且 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) > m x - m - 6$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)$ ， $g (x) = x^{2} - a x + 6$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $g (x) < 0$ 的解集为 ${x | 2 < x < 3}$ ，当 $x > 1$ 时，求 $\frac{g (x)}{x - 1}$ 的最小值；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [1 ， + \infty)$ 、 $x_{2} \in [- 2 ， 4]$ ，不等式 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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24. 已知不等式 $(a + 1) x^{2} - 4 x - 6 < 0$ 的解集是 ${x | - 1 < x < 3}$ ．

(1)、求常数a的值；

(2)、若关于x的不等式 $a x^{2} + m x + 4 \geq 0$ 的解集为R，求m的取值范围．

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25. 已知不等式 $x^{2} + a x + b \leq 0$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x \leq 4}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、解不等式 $x^{2} - b x - a \leq 0$ .

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26. 若不等式 $x^{2} - a x + b < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，

(1)、求 $a + b$ 的值；

(2)、求不等式 $b x^{2} - a x + 1 > 0$ 的解集；

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27. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 4 x + 3$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 4 x + 3 > 0$ 的解集为 ${x | b < x < 1}$ ，求 $a ， b$ 的值．

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > - a x - 1$ 的解集．

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28. 已知函数 $f (x) = - x | x - a | + 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解方程 $f (x) = 0$ ；

(2)、当 $a \in [0 ， 5]$ 时，记函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [1 ， 4]$ 上的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最小值．

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29. 设函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1$ ．

(1)、若对于一切实数 $x$ ， $f (x) < 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2)、解不等式 $f (x) < (m - 1) x^{2} + 2 x - 2 m - 1$ ．

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30. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + a x + 2 > 0$ 的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.

(1)、求M；

(2)、若 $t > 0$ ，对 $\forall a \in M$ ，有 $5 - a - \frac{4}{a + 1} \leq t^{2} + 3 t - 2$ ，求t的最小值.

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