【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：一元二次不等式的应用

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）

A、[15，20] B、[12，25] C、[10，30] D、[20，30]

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2. 若不等式 $a x^{2} + a x - 4 < 0$ 的解集为R，则实数a的取值可以是（）

A、-10 B、-8 C、0 D、2

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3. 若关于x的一元二次不等式 $x^{2} + m x + 1 \leq 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则实数m满足（）

A、 $m \leq - 2$ 或 $m \geq 2$ B、 $- 2 < m < 2$ C、 $m < - 2$ 或 $m > 2$ D、 $- 2 \leq m \leq 2$

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4. 设关于 $x$ 的不等式 $\frac{x^{2} + (2 a^{2} + 2) x - a^{2} + 4 a - 7}{x^{2} + (a^{2} + 4 a - 5) x - a^{2} + 4 a - 7} < 0$ 的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度和(规定：区间(a，b)的长度为b﹣a)不小于12，则a的取值范围为（）

A、 $a ⩽ - 1$ 或 $a ⩾ 5$ B、 $a < - 1$ 或 $a ⩾ 5$ C、 $a < - 2$ 或 $a ⩾ 3$ D、 $a ⩽ - 2$ 或 $a ⩾ 3$

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5. 某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本.设每本杂志的定价为 $x$ 元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则 $x$ 应满足（）

A、 $6 ⩽ x ⩽ 7$ B、 $5 ⩽ x ⩽ 7$ C、 $5 ⩽ x ⩽ 6$ D、 $4 ⩽ x ⩽ 6$

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6. 二次不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是全体实数的条件是（）

A、 ${\begin{cases} a > 0 \\ Δ > 0 \end{cases} \begin{matrix} \end{matrix}$ B、 ${\begin{cases} a < 0 \\ Δ < 0 \end{cases} \begin{matrix} \end{matrix}$ C、 ${\begin{cases} a < 0 \\ Δ > 0 \end{cases} \begin{matrix} \end{matrix}$ D、 ${\begin{cases} a > 0 \\ △ < 0 \end{cases} \begin{matrix} \end{matrix}$

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7. 关于 $x$ 的不等式 $2 a x^{2} + a x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $[- 3 ， 0)$ D、 $(- 3 ， 0]$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + x, x \geq 0 \\ - 3 x, x < 0 \end{matrix}$ ，若 $a [f (a) - f (- a)] > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

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9. 不等式（m+1）x²-mx+m-1＜0的解集为 $ϕ$ ，则m的取值范围（）

A、m＜-1 B、m≥ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、m≤- $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、m≥ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或m≤- $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 若不等式 $m x^{2} + 2 m x - 2 < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, 0]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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11. 若关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} + k x - \frac{3}{4} \leq 0$ 对任意实数 $x$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 ${k | - 3 < k < 0}$ B、 ${k | k < - 3 或 k > 0}$ C、 ${k | k \leq - 3 或 k \geq 0}$ D、 ${k | - 3 \leq k \leq 0}$

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二、填空题

12. 已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为．

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13. 函数 $y = \sqrt{a x^{2} - a x + 1}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 正数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} = 1$ ，若不等式 $a + b \geq - x^{2} + 4 x + 14 - m$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $m =$ .（填一个满足条件的值即可）

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15. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 1 > 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 t x - 1 \leq 0}$ ，若 $A \cap B = {x_{1}, x_{2}}$ ，则t的取值范围．

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16. 若(m＋1)x²－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是．

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17. 对任意 $x \in R$ ，都有 $x^{2} + x + m > 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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18. 已知不等式 $a x^{2} - b x - 1 \geq 0$ 的解集是 $[- \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}]$ ，则 $a + b =$ ．

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19. 已知定义域为R的函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，若关于x的不等式 $f (x) < c$ 的解集为（1，7），则实数c的值为．

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20. 不等式 $\frac{x - 2}{x^{2} - 6 x - 7} > 0$ 的解集是

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左右焦点分别是 $F_{1} (- 1 ， 0) 、 F_{2} (1 ， 0)$ ，点 $A$ 是直线 $x + y - 2 = 0$ 上的动点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，则椭圆 $C$ 的离心率的最大值为.

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22. 不等式的 $m x^{2} + m x - 3 < 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围为；

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三、解答题

23. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) + 2 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6} - 2 x) + 1$ ，若关于 $x$ 的不等式
$g^{2} (x) - (3 m + 2) g (x) - m - 23 \leq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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24. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ .

(1)、当 $f (1) = 3$ ，且 $a > 0$ 时，解关于x的不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、当 $f (1) = 2$ ，若“ $- 1 < x < 1$ ”是“ $f (x) > 2$ ”成立的充分条件，求实数a的取值范围.

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25. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - (3 m - 1) x + m - 2$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上单调递增，求m的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 不等式 $f (x) + m > 0$ .

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26. 已知函数 $f (x) = - x | x - a | + 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解方程 $f (x) = 0$ ；

(2)、当 $a \in [0 ， 5]$ 时，记函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [1 ， 4]$ 上的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最小值．

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27. 已知函数 $f (x) = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 6 ， a \in R$ .

(1)、解关于 $a$ 的不等式 $f (- 3) < 0$ ；

(2)、若 $m \in R ， a > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) + a^{3} + 21 > 0$ 的解集为 $(m - 4 ， m + 5)$ ，求 $a$ 的值.

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28. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入 $a$ 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 $x$ 名（ $x \in N$ 且 $90 \leq x \leq 150$ ），调整后研发人员的年人均投入增加 $(2 x) %$ ，技术人员的年人均投入调整为 $a (m - \frac{x}{25})$ 万元.
（Ⅰ）要使这 $200 - x$ 名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？

（Ⅱ）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 $m$ ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出 $m$ 的范围；若不存在，说明理由.

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29. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + a x + 2 > 0$ 的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.

(1)、求M；

(2)、若 $t > 0$ ，对 $\forall a \in M$ ，有 $5 - a - \frac{4}{a + 1} \leq t^{2} + 3 t - 2$ ，求t的最小值.

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30. 关于x的不等式： $x^{2} - a x - 2 a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式的解集；

(2)、若不等式对一切实数恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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31. 已知关于x的不等式2kx²+kx﹣1＜0．

(1)、若不等式的解集为（- $\frac{3}{2}$ ， 1），求实数k的值；

(2)、若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．

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32. 已知函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 1)$ 对称，且二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 过点 $(1 ， 0)$ ， $f (0) f (2) > 0$ .

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围；

(2)、试判断 $y = g (x)$ 的图象与直线 $y = 2 - a$ 是否有两个不同的交点？若有，请求出两交点间距离的取值范围；若没有，请说明理由.

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