【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：一元二次不等式的解法

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设集合A={x|x²–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）

A、–4 B、–2 C、2 D、4

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2. 不等式 $x^{2} - 4 x < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 0)$ C、 $(- \infty ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (4 ， + \infty)$

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3. 已知集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7} ， N = {x ∣ x^{2} - 4 x < 5}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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4. 在区间 $[- 2 ， 5]$ 上随机地抽取一个实数x，则x满足 $x^{2} < 4$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{5}{7}$

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5. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1)$

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6. 已知不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ ，则不等式 $x^{2} - b x + a \geq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 3] \cup [- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， - 2]$ C、 $[- 2 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [3 ， + \infty)$

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7. 已知集合 $A = {x ∣ x > 1}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 4 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 2)$

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8. 已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x²－2x－3＜0}，则M∩N＝（）

A、{x|0≤x＜1} B、{x|0≤x＜2} C、{x|0≤x≤1} D、{x|0≤x≤2}

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9. 以下四个命题中，真命题的是（）

A、不等式 $\frac{x}{x - 1} < 0$ 的解集为 $(0 ， 1)$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $a + \frac{1}{a} > 2$ ，则 $a > 1$ D、若 $1 < a < 2$ ， $- 1 < b < 0$ ，则 $2 a + b > b^{2}$

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10. 设 $a \in R$ ，则“ $a < 1$ ”是“ $a^{2} < a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. $(x - 2) (x + 2) > 0$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \leq 0$ B、 $x \geq 0$ C、 $x ≥ 3$ D、 $x > 2$ 或 $x < - 2$

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12. 下列四个不等式中，解集为 $\emptyset$ 是（　　）

A、 $- x^{2} + x + 1 > 0$ B、 $2 x^{2} - 3 x + 4 < 0$ C、 $x^{2} + 3 x + 10 < 0$ D、 $- x^{2} + 4 x - (a + \frac{4}{a}) > 0 (a > 0)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ωx + φ)$ 的部分图像如图所示，则满足条件 $（ f (x) - f (- \frac{7 π}{4})) (f (x) - f (\frac{4 π}{3})) > 0$ 的最小正整数x为。

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14. 设 $x \in R$ ，使不等式 $3 x^{2} + x - 2 < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围为.

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15. 若不等式 $x^{2} + 2 (a + 1) x + a^{2} \geq 0$ 恒成立，则a的取值范围是.

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16. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，则不等式 $(a x + b) (b x + c) (c x + a) < 0$ 的解集是.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{a^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若关于 $x$ 的不等式 $f (a x^{2} + b x + c) > 0$ 的解集为 $(1 ， 2)$ ，其中 $b \in (- 6 ， 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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18. 若实数 $x$ 满足不等式 $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ ，则 $x$ 的取值范围是.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x + 1 ， x \geq 0 \\ 2 x + 1 ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (m) < f (2 - m^{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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20. 设 $A (t ， 0) ， P$ 是曲线 $y = e^{x}$ 上的动点，且 $| P A | ⩾ 2 \sqrt{3}$ .则 $t$ 的取值范围是.

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21. 设函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + a$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) < 0$ 的解集为空集，则实数 $a$ 的取值范围为.

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3})$ ，则关于 $x$ 的不等式 $b x^{2} - c x - a < 0$ 的解集为．

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23. 已知集合 $P = (0 ， 1) ∪ (1 ， 2)$ ，函数 $f (x)$ 满足不等式 $f (x) \cdot l n x > 0$ 的解集为P，则函数 $f (x) =$ ．（写出一个符合条件的即可）

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24. 不等式 $2 x^{2} - x \leq 0$ 的解集为．

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三、解答题

25. 已知函数f（x）=lnx+ax²+（2a+1）x．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、当a＜0时，证明f（x）≤﹣ $\frac{3}{4 a}$ ﹣2．

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26. 设 $a > 0$ ， $f (x) = 2^{x} - \frac{a}{2^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求满足 $f (x) \geq 2$ 的 $x$ 的取值范围；

(2)、求证：函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上是严格增函数．

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27. 已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ .

(1)、当 $m > - 2$ 时，解关于x的不等式 $f (x) \geq m$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为D，且 $[- 1 ， 1] \subseteq D$ ，求m的取值范围．

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28. 已知 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x | a - 2 < x < 3 a}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap^{} (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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29. 设 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5} + 5 a_{9} = 0$ ， $a_{4} = a_{5} a_{7}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} < a_{n}$ 的 $n$ 的最大值.

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30. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ 的最小值为 $- 9$ ，方程 $f (x) = 7$ 有两个实根 $- 2$ 和6.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq m x - 4 m - 5 (m \in R)$ 的解集.

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31. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq - 2$ 有实数解，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数 $a \in [- 1 ， 1]$ 时恒成立，求实数 $x$ 的取值范围；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < a - 1 ， (a \in R)$ .

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32. 已知函数 $f (x) = (a x + 2) (x - 1) ， a \in R$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，解不等式 $f (x) \geq 0$ ；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ .

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33. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a^{2} + 6 a + 9) x + a + 1$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，且关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | m < x < n}$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值；

(2)、设关于x的不等式 $f (x) < 0$ 在 $[0 ， 1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围

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34. 设函数 $f (x) = - a x^{2} + a x + 6 ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $R$ ，求实数a的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - k) x + 2 - k$ ．

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 2$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上有两个不同的零点，求实数 $k$ 的取值范围．

(3)、对任意的 $x \in (- 1 ， 2)$ ， $f (x) \geq 1$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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