【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：一元二次不等式

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $p$ ，各成员的支付方式相互独立，设 $X$ 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， $D X = 2.4$ ， $P (X = 4) < P (X = 6)$ ，则 $p =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.4 D、0.3

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2. 设集合 $A = {x | x > 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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3. 下列结论中正确的是（）

A、若一元二次不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ ，则 $a + b$ 的值是 $- 14$ B、若集合 $A = {x \in N^{*} ∣ l g x \leq \frac{1}{2}}$ ， $B = {x ∣ 4^{x - 1} > 2}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为4 C、函数 $f (x) = x + \frac{2}{x + 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ D、函数 $f (x) = 2^{x} - 1$ 与函数 $f (x) = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1} + 1}$ 是同一函数

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4. 者关于x的不等式 $- 2 x^{2} + 5 x - m > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < \frac{3}{2}}$ ，则实数m的值是（）

A、 $m = - 3$ B、 $m = - \frac{3}{2}$ C、 $m = \frac{3}{2}$ D、 $m = 3$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n^{2} + n} \cdot c o s n π$ ，若对于任意正整数 $n$ ，都有 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2 n - 1} + a_{2 n} > m^{2} - 2 m - 4$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $[- 3 ， 1]$

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6. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) ∪ (4 ， + \infty)$ ，则（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为 $- 2$ 和 $4$ B、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的零点为 $2$ 和 $- 4$ C、 $a > 0$ D、 $c > 0$

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7. 若对任意 $x < 0$ ，不等式 $x + \frac{4}{x} \leq m^{2} + 5 m$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， - 1]$ B、 $(- \infty ， 1] \cup [4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 4] ∪ [- 1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 4]$

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8. 已知 $x = 3$ 是关于x的不等式 $x + \frac{a x + 1}{2} < \frac{2 x}{3}$ 的一个解，则a的取值范围为（）

A、 $a > - 1$ B、 $a < - 1$ C、 $a < 4$ D、 $a > 4$

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9. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 2^{x - 1} < 1} ， B = {x ∣ x^{2} + x - 6 > 0}$ ，则如图所示阴影区域表示（）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ B、 ${x ∣ - 3 < x < 1}$ C、 ${x ∣ - 2 ⩽ x < 1}$ D、 ${x ∣ - 3 ⩽ x < 1}$

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10. 已知集合 $A = {x | y = l n (2 - x)}$ ， $B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $B ∩ (∁_{R} A) =$ （）

A、（-3，2] B、[-3，2） C、（2，3] D、[2，3）

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11. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 7 x - 8 \leq 0} ， B = {x ∣ x = 2^{n} ， n \in N}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${2 ， 4 ， 8}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 8}$

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二、填空题

12. 某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为（元）.

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13. 不等式 $(2 + x) (1 - x) > 0$ 的解集为.

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14. $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 3$ ，若对于任意的x，y不等式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} \geq k^{2} - 3 k + 3$ 恒成立，则实数k的取值范围为.

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15. 已知全称量词命题“ $\forall x \in$ R， $x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} \geq 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 2 x - 3}$ 的值域是．

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17. 已知 $a, b$ 是正数，且 $(a - 1) (b - 1) = 9$ ，则a+b的最小值是．

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18. 不等式 $2 x^{2} - x < 0$ 的解集为．

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19. 不等式 $(| x - a | + | x + a | - 1) (x^{2} - 1 - a^{2} + 2 a) \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $a =$ ．

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20. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (x) = x^{2} + 2 x f^{'} (2)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为．

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21. 若函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + a x + 1}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 取值范围是.

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三、解答题

22. 已知 $a \in$ R，函数 $f (x)$ = $\log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x)$ ＞1；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x)$ + $\log_{2} (x^{2})$ =0的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的值；

(3)、设 $a$ ＞0，若对任意 $t \in$ $[\frac{1}{2}, 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t, t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围．

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23. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | \frac{2 x - 7}{x - 6} \leq 1}$ ．

(1)、求集合B；

(2)、求 $(∁_{R} A) ∩ B$ ．

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24. 设函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1$ ．

(1)、当 $a \in R^{+}$ 时，求关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

(2)、若 $g (x) = x^{3} - x^{2} + 1$ ，当 $x \in [\frac{4}{3} ， + \infty)$ 时，不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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25. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - 2$ ， $f (x) > 0$ 的解集为 ${x | x < - 1$ 或 $x > b}$ ．

(1)、求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，求函数 $g (x) = \frac{f (x) + 4}{x}$ 的最小值．

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26.

(1)、求不等式 $| x^{2} - 4 x | + | x | \geq 4$ 的解集；

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ，且 $2 a + b + 3 c = 2$ ，求 $\frac{3}{2 (a + c)} + \frac{1}{b + c}$ 的最小值．

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27. 已知函数 $y = - x^{2} + a x - 6$ .

(1)、当 $a = 5$ 时，解不等式 $y < 0$ ；

(2)、若不等式 $y \leq 0$ 的解集为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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28. 已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|.

(1)、求不等式f(x)≤7的解集；

(2)、若不等式f(x)≥x²＋mx－1的解集包含区间[－1，1]，求实数m的取值范围.

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29. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} (x > 0 ， a > \frac{1}{3})$ ，点 $A (3 ， \frac{a}{3})$ ，点 $B (\frac{1}{3} ， 3 a)$ ，和函数 $f (x)$ 图象上的点 $P (x ， y) (\frac{1}{3} < x < 3)$ ．过B作直线 $A P$ 的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）若 $x = 2$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{P B}$ （最后结果用a表示）；
（Ⅱ）若 $| A P | \cdot | P Q | \leq \frac{5}{3} + a$ 恒成立，求a的取值范围．

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30. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ ，过点 $P (4, 2)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与抛物线交于不同的两点 $M$ ， $N$ ．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $Δ O M N$ 为直角三角形，且 $O M ⊥ O N$ ，求 $k$ 的值．

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31. 已知函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 m x + 3)$

(1)、如果函数的定义域为R,求m的范围；

(2)、在 $(- \infty, 1)$ 上为增函数，求实数 $m$ 的取值范围.

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32. 已知：关于x的不等式（mx－（m+1））（x－2）>0（m $\in$ R）的解集为集合P
（I）当m>0时，求集合P；

（II）若{ $x | - 3 < x < 2$ } $\subseteq$ P，求m的取值范围.

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