【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：不等式比较大小

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设 $a = 0.1 e^{0.1} ， b = \frac{1}{9} ， c = - ln 0.9 ，$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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2. 设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）

A、 $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ） B、 $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ） C、 $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}） D、 $f$ （ $2^{- \frac{2}{3}}$ ）＞ $f$ （ $2^{- \frac{3}{2}}$ ）＞ $f$ （log₃_{$\frac{1}{4}$}）

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3. 若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）

A、a+ $\frac{1}{b}$ ＜ $\frac{b}{2^{a}}$ ＜log₂（a+b）） B、 $\frac{b}{2^{a}}$ ＜log₂（a+b）＜a+ $\frac{1}{b}$ C、a+ $\frac{1}{b}$ ＜log₂（a+b）＜ $\frac{b}{2^{a}}$ D、log₂（a+b））＜a+ $\frac{1}{b}$ ＜ $\frac{b}{2^{a}}$

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4. 已知a，b， $c \in (0 ， + \infty)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a < c$ ， $b \leq c$ ，则 $a < b$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{c} > b^{c}$ C、 $a + b + \frac{1}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} \leq a + b$

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5. 已知 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a} < 0$ ，则下列不等式不一定成立的是（）

A、 $a < b$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ C、 $a - \frac{1}{a} < b - \frac{1}{b}$ D、 $l n (b - a) > 0$

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6. 若正实数 $a ， b$ 满足 $a > b$ ，且 $l n a \cdot l n b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $l o g_{a} \frac{1}{b} > 0$ B、 $a - b > \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ C、 $3^{a b + 1} < 3^{a + b}$ D、 $a^{b - 1} < b^{a - 1}$

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7. 设 $a = \sin 4$ ， $b = \log_{5} 3$ ， $c = \lg 6$ ， $d = \frac{1}{\lg 15}$ ，则（）

A、 $b < c < d < a$ B、 $a < b < c < d$ C、 $a < c < d < b$ D、 $a < d < b < c$

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8. 已知 $m = a + \frac{1}{a} + 1 (a > 0)$ ， $n = 3^{x} (x < 1)$ ，则 $m$ ， $n$ 之间的大小关系是（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $m = n$ D、 $m \leq n$

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9. 下列说法正确的是（）

A、若 $a ， b \in R$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ B、若 $a > b > 0$ ， $m > n > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + n}$ C、若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - 2 c > b - 2 d$

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10. 已知实数x，y，z满 $x > y > 0 > z$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $\frac{x}{x - z} < \frac{y}{y - z}$ C、 $x^{z} > y^{z}$ D、 ${(\frac{y}{x})}^{x} \leq {(\frac{y}{x})}^{y}$

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11. 设 $a = l o g_{3} 4 + l o g_{4} 3 ， 3^{a} + 4^{a} = 5^{b}$ ，则（）

A、 $a > b > 2$ B、 $a > 2 > b$ C、 $b > a > 2$ D、 $b > 2 > a$

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12. 下列命题正确的是（）

A、若 $| a | > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a l g c > b l g c$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$

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二、填空题

13. 设 $P = (a - 2) (a + 4)$ ， $Q = 2 a (a - 1)$ ，则有 $P$ $Q$ .（请填“<”、“=”、“>”）

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14. 若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为．

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15. 已知 $M = x^{2} - 3 x$ ， $N = - 3 x^{2} + x - 3$ ，则 $M$ ， $N$ 的大小关系是．

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16.

(1)、已知 $b g$ 糖水中含有 $a g$ 糖（ $b > a > 0$ ），若再添加 $m g (m > 0)$ 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 $\frac{a}{b}$ $\frac{a + m}{b + m}$ .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.

(2)、 $M = \frac{20192019}{20232023}$ ， $N = \frac{20192016}{20232020}$ ，则MN（填“>，<，=，≥，≤”之一）.

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17. 已知 $x < y < 0$ ，则 $x^{2} + 1$ 与 $y^{2} + 1$ 的大小关系为.

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18. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，记 $A = \frac{a + b}{2}$ ， $G = \sqrt{a b}$ ， $H = \frac{2 a b}{a + b}$ 分别为a，b的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 $a \neq b$ 时A，G，H的大小关系，则A，G，H中最大的为，最小的为．

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19. 将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以 $P_{n}$ 表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
① $P_{3} = \frac{7}{8}$ ；
② $P_{4} = \frac{15}{16}$ ；
③当 $n \geq 2$ 时， $P_{n + 1} < P_{n}$ ；
④ $P_{n} = \frac{1}{2} P_{n - 1} + \frac{1}{4} P_{n - 2} + \frac{1}{8} P_{n - 3} (n \geq 4)$ .
其中，所有正确结论的序号是.

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20. 比较大小： $\sqrt{6} + \sqrt{7}$ $2 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ （用“>”或“<”符号填空）．

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21. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2^{n} - a$ ，则 $a =$ ； $\frac{1}{a_{2019}} + \frac{1}{a_{2021}}$ $\frac{2}{a_{2020}}$ .（填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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22. 设 $x \in R$ ， $M = 3 x^{2} - x + 1$ ， $N = x^{2} + x - 1$ ，则M与N的大小关系为.

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三、解答题

23. 已知a＞0，b＞0，a³+b³=2，证明：

（Ⅰ）（a+b）（a⁵+b⁵）≥4；

（Ⅱ）a+b≤2．

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24. 设不等式 $| 2 x + 1 | + | 2 x - 1 | < 4$ 的解集为 $M ， a ， b \in M$ ．

(1)、求证： $| \frac{1}{2} a - \frac{1}{3} b | < \frac{5}{6}$ ；

(2)、试比较 $| 2 a - b |$ 与 $| 2 - a b |$ 的大小，并说明理由．

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25. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ ．

(1)、求f(1)，f(2)的值；

(2)、设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；

(3)、若关于x的不等式 $f (x - 1) \geq 2 (x - 1) + \frac{2}{x - 1} + m$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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26.

(1)、比较 $\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}}$ 与 $\sqrt{a} + \sqrt{b} (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ 的大小；

(2)、简要小结你解答第（1）问所用的方法．

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27. 证明不等式．

(1)、 $b c - a d \geq 0$ ， bd＞0，求证： $\frac{a + b}{b} \leq \frac{c + d}{d}$ ；

(2)、已知a＞b＞c＞0，求证： $\frac{b}{a - b} > \frac{b}{a - c} > \frac{c}{a - c}$ ．

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28.

(1)、已知 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，用作差法证明： $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ ；

(2)、已知 $a$ ， $b$ 都是正数，求证 $(a + b) (a^{2} + b^{2}) (a^{3} + b^{3}) \geq 8 a^{3} b^{3}$ .

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29. 求解下列问题：

(1)、已知 $a \in R$ ，比较 $(a + 3) (a + 7)$ 和 $(a + 4) (a + 6)$ 的大小；

(2)、已知 $x < y < 0$ ，比较 $\frac{1}{x}$ 与 $\frac{1}{y}$ 的大小.

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30. 求证下列问题：

(1)、已知 $a ， b ， c$ 均为正数，求证： $\frac{b c}{a} + \frac{a c}{b} + \frac{a b}{c}$ $\geq a + b + c$ .

(2)、已知 $x y > 0$ ，求证： $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ 的充要条件是 $x < y$ .

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31.

(1)、已知 $a > b > 0$ ，试比较 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ 与 $\frac{a - b}{a + b}$ 的大小；

(2)、证明： $2 a^{3} + a^{2} \leq 2 a^{4} + 1$ ．

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32.

(1)、已知 $a b > 0$ ， $a < b$ ，求证： $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ .

(2)、A、B地相距2公里，甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条线路步行到B地.甲在前一半时间的行走速度为 $v_{1}$ ，后一半时间的行走速度为 $v_{2}$ ；乙用速度 $v_{1}$ 走完1公里，用速度 $v_{2}$ 走完剩下的1公里.若 $v_{1} \neq v_{2}$ ，问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由.

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33.

(1)、若 $x \in R$ ，试比较 $3 x^{2} + 6 x$ 与 $4 x^{2} - 2 x + 16$ 的大小；

(2)、已知 $- 5 < x < 4$ ， $2 < y < 3$ .求 $x - 2 y$ 的取值范围.

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