【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：一元二次方程

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若f(x)=alnx+ $\frac{b}{x}$ + $\frac{c}{x^{2}}$ (a≠0)既有极大值也有极小值，则（）

A、bc>0 B、ab>0 C、 $b^{2} + 8 a c > 0$ D、ac<0

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2. 已知集合M={−2，−1，0，1，2}，N={x|x²−x−6⩾0}，则M∩N=（）

A、{−2，−1，0，1} B、{0，1，2} C、{−2} D、{2}

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3. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 2} ， B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 0}$

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4. 已知集合 $A = {x}$ ， $B = {x^{2}}$ ，则“ $x = 1$ ”是“ $A = B$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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5. 若 $x \in R$ ，则“ $x = - 1$ ”是“ $(x + 1) (x - 2) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. “x＝1”是“x²﹣1＝0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 ， \\ - x ， x < 0 ， \end{array}$ 则方程 $x^{2} - f (x - 1) = 1$ 的解集为（）

A、 ${- 2 ， 0}$ B、 ${- 2 ， 1}$ C、 ${- 2 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1}$

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8. “ $x = - 3$ ”是“ $x^{2} + x - 6 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a > 0)$ 有两个相等的实数根，则（）

A、 $a^{2} - b^{2} \leq 4$ B、 $a^{2} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若不等式 $x^{2} + a x - b < 0$ 的解集为 ${x | x_{1} < x < x_{2}}$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ D、若不等式 $x^{2} + a x + b < c$ 的解集为 ${x | x_{1} < x < x_{2}}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 6$ ，则 $c = 9 .$

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10. 把方程 $x^{2} + 2 x = 3 (x - 2)$ 化成 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的形式，则 $a ， b ， c$ 的值分别为（）

A、1，-1，-6 B、1，5，6 C、1，－1，6 D、1，5，-6

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11. 已知函数 $f (x) = a (x + 1)^{2023} + b c o s (\frac{2023}{2} π - x - 1) + c$ ，其中a，b，c为常数，若 $f (2022) + f (- 2024) = c^{2} + 1$ ，则c＝（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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12. 下列命题中不正确的命题有（）

A、方程kx²-x-2=0是一元二次方程 B、x=3与方程x2=1是同解方程 C、方程x2=x与方程x=1是同解方程 D、由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3

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二、填空题

13. 若曲线 $y = (x + a) e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 k x + k^{2} - 2 k + 3 = 0$ 有两个虚根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ ，则实数 $k$ 的值为

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) (\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{2 π}{3})$ ，关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - m f (x) + 1 = 0$ 恰有两个实根，求 $m$ 的取值范围.

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16. 若集合 ${x | a x^{2} + b x + c = 0 (a < 0)}$ 的非空子集为 ${5}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为．

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17. 一元二次方程 $(2 x - 1) (x + 3) = 2 x$ 化为一般形式是．

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18. 已知 $a = 2019 x + 2018$ ， $b = 2019 x + 2019$ ， $c = 2019 x + 2020$ ，则代数式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c$ 的值为.

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19. 因式分解： $x^{2} - 5 x - 14 =$ .

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20. 已知， $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = | x^{2} - 4 π x + 3 π^{2} | + π | c o s x |$ .若不等式 $| f (x) \geq | a x + b |$ 对于任意实数 $x$ 恒成立，则 $a b$ 的最小值是，最大值是.

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21. 若关于 $z$ 的复系数一元二次方程 $z^{2} - i ω z + ω = 0 (ω \notin R)$ 的一个根为 $z_{1} = 1$ ，则另一个根 $z_{2} =$ .

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22. 设函数f(x)=x²+bx+2(|b|≤5，c∈R)，记A={x|f(x)=x)，B={x\f(f(x))=x)．若集合A={x₁ ， x₂}，B={x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄}，且|x₁-x₂|+|x₃-x₄|≤ $\sqrt{5}$ +1恒成立，则b=c的取值范围是

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三、解答题

23. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + a + 3 ， g (x) = m x + 5 - 2 m$

(1)、当时，求方程 $f (x) - g (x) = 0$ 的解；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有实数根，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 0$ 时，若对任意的 $x_{1} \in [1 ， 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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24.

(1)、已知 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ， $m < 0$ ，求证： $\frac{m}{a - c} > \frac{m}{b - d}$ ；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 (m - 2) x + m^{2} + 4 = 0$ 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求 $m$ 的值.

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25. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - (1 + 2 k) x + k + 2 = 0$ ．

(1)、若方程有两个不相等的实数根，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $k$ 取满足（1）中条件的最大整数时，设方程的两根为 $m$ 和 $n$ ，求代数式 $m^{4} + n^{2} + 2 n + 2022$ 的值．

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26. 已知关于x的实系数一元二次方程 $x^{2} + k x + 3 = 0$ 有两个虚根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ .

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $| x_{1} - x_{2} | = 2 \sqrt{2}$ ，求k的值.

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27. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{1}{x} - 1$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = l g (3 x - 4) + l g (\frac{1}{3 x - 4})$ 恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

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28. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 1) x + 2 a$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $A = {x | 1 < x < 2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

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29. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .

(1)、证明： $a \cos B + b \cos A = c$ ；

(2)、若 $a = 7$ ， $b = 5$ ， $\frac{2 c - b}{\cos B} = \frac{a}{\cos A} .$ 求 $△ A B C$ 的周长.

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30. 已知命题 $p ： - 2 < a < 2$ ，命题 $q ：$ 关于x的方程 $x^{2} - x + a = 0$ 有实数根.

(1)、若q为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $\neg q$ 为真命题，求实数a的取值范围.

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31. 已知 $- 1 + 2 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 的一个根，其中 $i$ 为虚数单位．
（Ⅰ）求 $p ， q$ 的值；
（Ⅱ）记复数 $z = p + q i$ ，求复数 $\frac{z}{1 + i}$ 的模．

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32. 求下列各式中角 $x$

(1)、 $2 s i n (x + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

(2)、 $2 s i n^{2} x + 3 c o s x = 0$

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