重庆市南岸区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 把多项式a²+2a分解因式得（）

A、a（a+2） B、a（a-2） C、（a+2）² D、（a+2）（a-2）

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2. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知 $x > y$ ，下列一定成立的是（）

A、 $x + 1 < y + 1$ B、 $2 x < 2 y$ C、 $x - 1 < y - 1$ D、 $- x < - y$

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4. 分式 $\frac{1}{3 + x}$ 有意义的条件是（）

A、x＝－3 B、x≠－3 C、x≠3 D、x≠0

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5. 在 $▱ A B C D$ 中（如图），连接 $A C$ ，已知 $∠ B A C = 40 °$ ， $∠ A C B = 80 °$ ，则 $∠ B C D =$ （）

A、 $80 °$ B、 $100 °$ C、 $120 °$ D、 $140 °$

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6. 方程 $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$ 的解是（）

A、 $x = - 3$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 3$ D、 $x = 1$

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7. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（）

A、五边形 B、六边形 C、七边形 D、八边形

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线 $M N$ 交边 $A B$ 于点E．若 $A C = 5$ ， $B E = 4$ ， $∠ B = 45 °$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4 + 2 \sqrt{2}$ B、6 C、 $4 + \sqrt{7}$ D、7

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点D是 $A B$ 边上一点，连接 $C D$ ，把 $C D$ 绕点D旋转至 $D E$ ，连接 $B E$ ．若 $A C = B E = 2$ ， ∠DEB＝90°，则 $A D$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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10. 关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - \frac{1}{2} (a - 3) \leq \frac{1}{2} (x + 3) \\ \frac{3 x + 1}{2} < x + 3 \end{array}$ 的解集是 $x \leq a$ ，且关于y的分式方程 $\frac{y - a}{y - 1} - \frac{2 y - 4}{1 - y} = 1$ 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）

A、0 B、1 C、5 D、6

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二、填空题

11. 不等式 $3 x - 12 < 0$ 的解集是．

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12. 如图，如果只用一种若干个正多边形镶嵌整个平面，如图是由其拼成的无缝隙且不重叠的图形的一部分，这种正多边形的边数是．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 100 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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14. 若 $x + y = 1$ ，则 $x^{2} - y^{2} + 2 y + 5 =$ ．

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15. 如图，已知 $y_{1} = 3 x - 4$ ， $y_{2} = - x + 3$ ，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围为．

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C ， D E ⊥ A B .$ 若 $A C = 2 ， D E = 1 ，$ 则 $S_{Δ A C D} =$ ．

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17. 如图， $∠ B A C = 45 °$ ， $A B = 6 c m$ ， D为 $A C$ 上一点， $A D = 2 c m$ ， $D E ∥ A B$ ，交 $B C$ 于点E，点F为直线 $D E$ 上一点，则 $F A + F B$ 的最小值为．

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18. 用 $\bar{m 5}$ 表示十位数字为m，个位数字为5的两位数，其中 $1 \leq m \leq 9$ ，且m是整数，例如，当 $m = 6$ 时， $\bar{m 5}$ 表示的两位数是65
当 $m = 1$ 时， $1 5^{2} = 225 = 100 \times 1 \times 2 + 25$ ；
当 $m = 2$ 时， $2 5^{2} = 625 = 100 \times 2 \times 3 + 25$ ；
……

(1)、请仿照上面的等式，用含m的式子表示： ${\bar{m 5}}^{2} = 100 \times$ $+ 25$ ；

(2)、若 ${\bar{m 5}}^{2}$ 与 $100 m$ 的差为6425，则 $m =$ ．

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三、解答题

19. 如图所示，在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (2 ， 5)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (6 ， 5)$ ．

⑴在图中，画出 $△ A B C$ 向左平移8个单位得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵在图中，画出以点O为对称中心，与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 成中心对称图形的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；
⑶直接写出点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ 的坐标．

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20. 解不等式组 ${\begin{matrix} 5 x + 1 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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21. 计算：

(1)、 $\frac{a - b}{a + b} \div \frac{a^{2} - a b}{a^{3} - a b^{2}}$ ；

(2)、 $(\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x}) \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

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22. 在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，把 $△ A B C$ 分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段 $B C$ 的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作 $B C$ 的垂直平分线，分别交 $A C$ ， $B C$ 于点D，E，连接 $B D$ ．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）

∵ $D E$ 垂直平分线段 $B C$ ，
∴BE=    ▲         ， $∠ D E B = ∠ D E C = 90 °$ ．
在 $△ D B E$ 和 $△ D C E$ 中，∵ ${\begin{array}{l} \underline{▲} \\ ∠ B E D = ∠ C E D \\ D E = D E \end{array}$ ，
∴ $△ D B E ≌ △ D C E (S A S)$ ． ∴    ▲         $= ∠ C = 30 °$ ．
∵在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，
∴ $∠ A B C = 90 ° - ∠ C =$     ▲        ° ．
∴ $∠ A B D = ∠ A B C - ∠ D B E =$     ▲        ° ．
∴ $∠ A B D = ∠ E B D$ ．
在 $△ D B A$ 和 $△ D B E$ 中，∵ ${\begin{array}{l} \underline{▲} \\ ∠ A B D = ∠ E B D \\ B D = B D \end{array}$ ，
∴ $△ D B A ≌ △ D B E (A A S)$ ．
∴ $△ D C E ≌ △ D B E ≌ △ D B A$ ．

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23. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对A款电动汽车和B款燃油车的对比调查发现，A款电动车汽车平均每千米的充电费比B款燃油车平均每千米的加油费少0.6元．

(1)、若充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，求A款电动汽车平均每千米的充电费；

(2)、A款电动车汽车从甲地出发，计划按照一定的速度匀速行驶150km的路程到达乙地．行驶了 $30 k m$ 后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，这样，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的 $\frac{13}{15}$ ，求原计划的速度．

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24. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ． D是 $B C$ 射线上一点，连接 $A D$ ，把 $A D$ 绕着点A逆时针旋转 $α$ ，得到 $A E$ ．

(1)、如图1，当点D在 $B C$ 的延长线上时，连接 $C E$ ，求证： $B D = C E$ ；

(2)、如图2，当点D在 $B C$ 边上时，若 $α = 60 °$ ，过点E作 $E F ∥ C B$ ，分别交 $A B$ ， $A D$ ， $A C$ 于点F，M，N．求证： $B D = B F$ ．

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25. 某学校开展数学实验活动，需要购买A、B两种实验器材．已知购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元．

(1)、求购进一套A种实验器材和一套B种实验器材各需多少元？

(2)、若学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，则有哪几种购买方案？

(3)、在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

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26. 已知， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点C作 $C E ∥ D A$ ．

(1)、如图1， $D E ∥ B A$ 交 $A C$ 于点F，连接 $A E$ ．求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(2)、P是线段 $A D$ 上一点（不与点A，D重合）， $P E ∥ B A$ 交 $A C$ 于点F，交 $C E$ 于点E，连接 $A E$ ．
①如图2，四边形 $A B P E$ 是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长 $B P$ 交 $A C$ 于点Q，若 $B Q ⊥ A C$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ C A D = 30 °$ ，请直接写出 $\frac{A Q}{B C}$ 的值．

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