山西省朔州市2022-2023学年八年级下学期7月期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若二次根式 $\sqrt{x - 5}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x＜5 B、x＞5 C、x≤5 D、x≥5

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2. 某区新教师招聘中，九位评委独立给出分数，得到一列数.若去掉一个最高分和一个最低分，得到一列新数，那么这两列数的相关统计量中，一定相等的是（）

A、方差 B、众数 C、中位数 D、平均数

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3. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $- \sqrt{24}$ B、 $- \sqrt{42}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{0.3}$

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4. 对于函数 $y = - 3 x + 1$ ，下列结论正确的是（）

A、它的图象必经过点 $(1 ， 4)$ B、它的图象经过第一、二、三象限 C、当 $x > 1$ 时， $y < 0$ D、 $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大

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5. 如图学校门口的伸缩门在伸缩的过程中，会出现不少菱形．某一时刻，测得菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 5 c m$ ， $B D = 10 c m$ ，则这个菱形的面积为（）

A、 $5 c m^{2}$ B、 $10 c m^{2}$ C、 $25 c m^{2}$ D、 $50 c m^{2}$

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6. 甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系如图所示，下列说法正确的是（）

A、乙先到达终点 B、甲比乙晚到 $0.5$ 秒 C、甲在这次赛跑中的平均速度为8米/秒 D、乙在这次赛跑中的平均速度为8米/秒

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7. 如图， $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的对角线， $A D = D C = B C = 2 ， ∠ C = ∠ A D B = 9 0^{°}$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积等于（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 + 4 \sqrt{2}$ D、 $4 + 4 \sqrt{2}$

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8. 如图， $▱ A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一点， $F$ 为 $C D$ 边上一点，四边形 $A E F G$ 为矩形，若 $∠ B A E = 40 °$ ， $∠ C E F = 15 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $75 °$ C、 $105 °$ D、 $115 °$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，点 $D ， E$ 分别是边 $A C$ ， $B C$ 的中点，点 $F$ 是线段 $D E$ 上的一点．连接 $C F$ ， $B F$ ，若 $∠ C F B = 9 0^{∘}$ ，且 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，则 $D F$ 的长是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的点 $A$ 和点 $C$ 分别落在 $y$ 轴和 $x$ 轴正半轴上， $O C = 8$ ，直线 $l ： y = 2 x + 6$ 经过点 $A$ ，将直线 $l$ 向下平移 $m$ 个单位，若直线可将矩形 $O A B C$ 的面积平分，则 $m$ 的值为（）

A、11 B、9 C、6 D、5

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二、填空题

11. 已知长方形的面积为 $S = 8 \sqrt{3}$ ，相邻两边分别为 $a ， b$ ，已知 $a = 2 \sqrt{15}$ ，则 $b$ 的长为．

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12. 学校为提升教职工的身体素质，开展了“放飞心情，健行健康”为主题的健步走活动，李老师用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如下统计表：

步数（万步）	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5
天数	2	3	10	12	3

在每天所走的步数这组数据中，众数是万步．

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13. 如图，每个小正方形的边长都为 $1$ ， $Δ A B C$ 的顶点都在小正方形的顶点上，则该三角形的最长边等于．

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14. 如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 $2 m / s$ ．根据小球速度 $v$ （单位： $m / s$ ）关于时间 $t$ （单位： $s$ ）的函数关系，第 $4.5 s$ 时小球的速度为 $m / s$

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 45 °$ ， $A D = B D = 3 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在边 $D C$ 上， $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，交 $D B$ 于点 $F$ ．若 $A E = 5$ ，则 $E F$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $(\sqrt{6} - \sqrt{3}) \times \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{18}$ ；

(2)、计算： $(3 \sqrt{18} - 5 \sqrt{2}) \div \sqrt{2} - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C ， A B ⊥ A C$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $A D = E C$ ．求证：四边形 $A D C E$ 是菱形．

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18. 根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线 $A B$ 上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点 $C$ 和点 $D$ 处， $C A ⊥ A B$ 于A， $D B ⊥ A B$ 于B．已知 $A B = 2.5 k m$ ， $C A = 1.5 k m$ ， $D B = 1.0 k m$ 求该幼儿园 $E$ 应该建在距点A为多少 $k m$ 处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．

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19. “春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子是我省杂粮谷物中的大类．某小米经销商要将规格相同的1000袋小米运往A，B，C三地销售，要求运往C地的袋数是运往A地袋数的3倍，各地的运费如下表所示：

运往地	$A$ 地	$B$ 地	$C$ 地
运费（元/袋）	20	10	15

(1)、设运往

A

地的小米

x

（袋），总运费为

y

（元），试写出

y

与

x

的函数关系式；

(2)、若总运费不超过15000元，最多可运往A地小米多少袋？

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20. 学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．

初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下：
七年级：98　96　86　85　84　94　77　69　59　94
八年级：99　96　73　82　96　79　65　96　55　96
他们的数据分析过程如下：

(1)、整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图：

请补全八年级频数分布直方图；

(2)、数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示：
年级
平均数
中位数
方差
七年级
①
85.5
144.36
八年级
83.7
②
251.21
根据以上数据求出表格中①，②两处的数据；

(3)、推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．

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21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
运用“坐标法”解决几何问题
数学知识之间是相互联系的，有些几何问题可以运用“坐标法”解决．其步骤是：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案．
例题：如图，在 $△ A O B$ 中， $∠ A O B = 12 0^{∘}$ ， $O C$ 是 $△ A O B$ 的角平分线， $O A = 7.5$ ， $O B = 5$ ，用你所学的知识求线段 $O C$ 的长．

解：如图，以 $O$ 为坐标原点， $O C$ 所在的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．

∵ $∠ A O B = 120 °$ ， $O C$ 是 $△ A O B$ 的角平分线，
∴ $∠ A O C = ∠ B O C = 60 °$ ．
∴ $∠ 1 = ∠ 2 = 30 °$
∵ $O A = 7.5$ ， $O B = 5$ ，
∴ $A E = \frac{15}{4}$ ， $O E = \frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ， $B F = \frac{5}{2}$ ， $O F = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ ．
∴ $A (- \frac{15 \sqrt{3}}{4} ， \frac{15}{4})$ ， $B (\frac{5 \sqrt{3}}{2} ， \frac{5}{2})$
设直线 $A B$ 的函数表达式为 $y = k x + b$ ．
∴ ${\begin{array}{l} - \frac{15 \sqrt{3}}{4} k + b = \frac{15}{4} ， \\ \frac{5 \sqrt{3}}{2} k + b = \frac{5}{2} . \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} k = - \frac{\sqrt{3}}{15} ， \\ b = 3 . \end{array}$ ．
∴ $y = - \frac{\sqrt{3}}{15} x + 3$
∴当 $x = 0$ 时， $y = 3$ ．
∴线段 $O C$ 的长为3．
通过这个问题的解答，我们发现用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系．
任务：请用“坐标法”解答下面问题：
如图，已知正方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $C E = 4$ ，连接 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，连接 $O E$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，求 $O H$ 的长．

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22. 综合与实践：

(1)、操作发现：
如图1，在 $△ A B C$ 纸片中， $∠ B A C = 4 5^{∘}$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ．
第一步：将一张与其全等的纸片，沿 $A D$ 剪开；
第二步：在同一平面内，将所得的两个三角形，和 $△ A B C$ 拼在一起．如图2所示，这两个三角形分别记为 $△ A B E$ 和 $△ A C F$ ；
第三步：分别延长 $E B$ 和 $F C$ 相交于点 $G$ ．

求证：四边形 $A E G F$ 是正方形；

(2)、拓广探索：
如图3，连接 $E F$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M ， N$ ，在四边形 $A E G F$ 外作 $△ A F H$ ，使得 $A H = A M$ ， $F H = E M$ ，判断线段 $M N$ ， $N F$ ， $F H$ 之间的数量关系，并说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (0 ， 4)$ ，点 $B (3 ， 0)$ 为正方形 $A B C D$ 的两个顶点，点 $C$ 和 $D$ 在第一象限．

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的函数表达式；

(3)、在直线 $B C$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ P C D$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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年级	平均数	中位数	方差
七年级	①	85.5	144.36
八年级	83.7	②	251.21