山西省吕梁市中阳县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列函数中， $y$ 是 $x$ 的一次函数的是（）

A、 $y = \frac{2}{x}$ B、 $y = x^{2} + 2$ C、 $y = 3 + 2 x$ D、 $y = - \frac{5}{x}$

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2. 下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{4} \div \sqrt{2} = 8$ B、 $(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1) = 4$ C、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ D、 $\sqrt{(- 4) \times (- 25)} = \sqrt{- 4} \times \sqrt{- 25}$

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3. 直角三角形的三边长分别为3，4，x，则 $x$ 的值可能为（）

A、5 B、 $\sqrt{7}$ C、7 D、5或 $\sqrt{7}$

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4. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 45 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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5. 八年级（1）班的期末综合成绩按照课堂表现、作业成绩、考试成绩2：3：5的比例计算，小明的课堂表现为80分，作业成绩为90分，考试成绩为85分，那么小明的期末综合成绩为（）

A、85分 B、85.5分 C、86分 D、86.5分

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6. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $A B ， A C$ 的中点，若菱形 $A B C D$ 的周长为 $24$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 一次函数 $y = a x + b$ 的图像如图所示，当 $a x + b > 0$ 时， $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x < 1$ C、 $x > 0$ D、 $x < 0$

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8. 如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个 $15 m^{2}$ 的正方形游泳池和一个 $6 m^{2}$ 的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为（）

A、 $6 \sqrt{10} m^{2}$ B、 $21 m^{2}$ C、 $2 \sqrt{15} m^{2}$ D、 $4 \sqrt{6} m^{2}$

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9. 已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离 $y (k m)$ 与离开家的时间 $x (h)$ 之间的对应关系．下列说法不正确是（）

A、体育馆与图书馆之间的距离为 $2 k m$ B、小明从体育馆到图书馆的步行速度为 $5 k m / h$ C、小明在体育馆停留了 $90$ 分钟 D、小明从家去体育馆的速度比从图书馆回家的速度快

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10. 小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用 $x$ 个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度 $y$ 与图形个数 $x$ 之间的关系式为（）

A、 $y = 6 x + 4$ B、 $y = 5 x + 4$ C、 $y = 5 x$ D、 $y = 6 x + 10$

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二、填空题

11. 若 $\sqrt{4 - x}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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12. 如图所示的是甲、乙两公司上半年前5个月利润的折线统计图，则 $s_{甲}^{2}$ $s_{乙}^{2}$ （填“>”或“<”）．

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13. 将直线 $y = 2 x + 1$ 向右平移3个单位长度后与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为．

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14. 攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点 $A$ 攀爬到点 $B$ 的最短路径为米．

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15. 在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x - 2 (k > 0)$ 的图像分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于B，C两点，点A坐标为 $(1 ， 0)$ ，直线 $B C$ 上有一点 $F$ ，使得 $△ A C F$ 是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则 $k =$ ．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $\sqrt{5} + \sqrt{20} - \sqrt{45}$ ．

(2)、下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： $2 \sqrt{3} \div \frac{4}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} - \sqrt{27}$ ．
解：原式 $= 2 \sqrt{3} \div 4 - 3 \sqrt{3}$ 第一步
      $= \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \sqrt{3}$ 第二步
      $= - \frac{5}{2} \sqrt{3}$ 第三步
任务一：以上步骤中，从第    ▲        步开始出现错误，这一步错误的原因是    ▲         ．
任务二：请写出正确的计算过程．

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17. 如图， $O$ 是菱形 $A B C D$ 对角线的交点，过点 $C$ 作 $C E ∥ O D$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ O C$ ． $C E$ 与 $D E$ 相交于点 $E$ ．求证：四边形 $O C E D$ 是矩形．

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18. 为了解学生对五一劳动节上映的《长空之王》与《灌篮高手》两部电影的评价，某调查小组从该校八年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

《长空之王》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．

《灌篮高手》的得分统计图：

抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：

	平均数	众数	中位数
《长空之王》	8.2	$a$	8.5
《灌篮高手》	7.8	8	$b$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中的

a =

，

b =

．

(2)、根据上述数据，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）．

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19. 已知一次函数的图象与 $x$ 轴相交于点 $A (1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴正半轴相交于点 $B$ ，且 $O A = \frac{1}{3} O B$ ．

(1)、求该一次函数的解析式．

(2)、若点 $P (m - 1 ， n_{1})$ 和点 $Q (m + 1 ， n_{2})$ 在该一次函数的图象上，求 $n_{1} - n_{2}$ 的值．

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20. 甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 $y (c m)$ 与燃烧时间 $x (h)$ 之间的关系如图所示，已知 $y_{乙} = - 10 x + 25$ ，请根据所提供的信息解答下列问题：

(1)、乙蜡烛燃烧前的高度是 $c m$ ，乙从点燃到燃尽所用的时间是 $h$ ．

(2)、燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长？

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21. 阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．

裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如： $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ ．

在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．

(1)、模仿材料中的计算方法，化简： $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} =$ ．

(2)、观察上面的计算过程，直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ ．

(3)、利用根式裂项求解： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) (\sqrt{2023} + 1)$ ．

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22. 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动．

小亮准备了矩形纸片 $A B C D$ ，其中 $E$ 是 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠，点 $A$ 的对应点为 $G$ ．

(1)、观察发现：如图1，当点 $G$ 恰好在 $B C$ 边上时，小亮发现 $A B$ 与 $A D$ 存在一定的数量关系，其数量关系是．

(2)、探索猜想：如图2，当点 $G$ 在矩形 $A B C D$ 内部时，延长 $B G$ 交 $D C$ 边于点 $F$ ．试猜想线段 $B F ， A B$ 与 $D F$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、拓展延伸：当点 $G$ 在矩形 $A B C D$ 内部时，若 $A D = \sqrt{3} A B$ ，直接写出线段 $D F$ 与 $F C$ 的数量关系．

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23. 综合与探究
如图，直线 $A B ： y = - x + 3$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $B ， E$ ，过点A作直线 $C D$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $C (- 9 ， 0)$ ， $D (0 ， \frac{9}{2})$ ．

(1)、求直线 $C D$ 的解析式．

(2)、在 $y$ 轴左侧作直线 $F G ∥ y$ 轴，分别交直线 $A B$ ， $C D$ 于点 $F ， G$ ．当 $F G = 2 D E$ 时，过点 $G$ 作直线 $G H$ $∥ x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $H$ ．能否在直线 $G H$ 上找一点 $P$ ，使 $P F + P D$ 的值最小，求出 $P$ 点的坐标．

(3)、 $M$ 为直线 $C D$ 上一点，在（2）的条件下， $x$ 轴上是否存在点 $Q$ 使得以 $P ， Q ， M ， O$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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