山西省临汾地区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆能通过此桥洞的是（）

A、4.5 $m$ B、5.5 $m$ C、6 $m$ D、6.5 $m$

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2. 剪纸又称刻纸，是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术的享受．下列四个剪纸作品中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} + 4 x - 5 = x (x + 4) - 5$ B、 $a (x + y) = a x + a y$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ D、 $(2 x + 1) (2 x - 1) = 4 x^{2} - 1$

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4. 请阅读以下关于解答“在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，求证： $∠ A B C < 9 0^{∘}$ ”的过程：
证明：假设 $∠ A B C \geq 9 0^{∘}$ ．
      $∵ A B = A C ，$
      $∴ ∠ A B C = ∠ A C B \geq 9 0^{∘} .$
      $∴ ∠ A B C + ∠ A C B \geq 18 0^{∘} .$
这与“三角形三个内角的和等于 $18 0^{∘}$ ”相矛盾．
      $∴$ 假设不成立．
      $\begin{matrix} ∴ ∠ A B C < 9 0^{∘} \end{matrix}$ ．
这种证明方法是（）

A、综合法 B、反证法 C、枚举法 D、归纳法

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5. 一个不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2} < x \\ 3 x - 2 \geq 2 x \end{array}$ ，那么它的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 化简 $\frac{1}{a - 3} - \frac{6}{a^{2} - 9}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{a + 3}$ B、 $a - 3$ C、 $a + 3$ D、 $\frac{1}{a - 3}$

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8. 如图，在正五边形 $A B C D E$ 中， $F$ 为 $B C$ 边延长线上一点，连接 $A C$ ，则 $∠ A C F$ 的度数为（）

A、 $7 2^{∘}$ B、 $10 8^{∘}$ C、 $14 4^{∘}$ D、 $14 8^{∘}$

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9. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{1000}{x} = 2 \times \frac{425}{x + 3}$ B、 $\frac{1000}{x} = 2 \times \frac{425}{x - 3}$ C、 $\frac{1000}{x - 3} = 2 \times \frac{425}{x}$ D、 $\frac{1000}{x + 3} = 2 \times \frac{425}{x}$

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $F$ 是 $B C$ 边上一点， $E$ 是 $C D$ 边的中点， $A E$ 平分 $∠ D A F$ ．若 $B F = 6 ， C F = 2$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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二、填空题

11. 若分式 $\frac{a - 1}{3 a + 3}$ 的值为0，则 $a$ 的值为．

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12. 永祚寺双塔（如图1），又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的最高的古建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其外角和的度数为．

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13. 某品牌乳胶枕的进价为200元，商店以300元的价格出售．店庆期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于 $20 %$ 的价格降价出售，则该乳胶枕最多可降价元．

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14. 如图， $∠ A O B = 30 ° ， O E$ 平分 $∠ A O B ， P$ 是 $O E$ 上一点，过点 $P$ 分别作 $P C ⊥ O B$ 于点 $C ， P D ∥ O B$ 交 $O A$ 于点 $D$ ．若 $P D = 6$ ，则 $P C$ 的长为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $9 0^{∘}$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，连接 $A A^{^{'}} ， B B^{^{'}}$ ，延长 $B B^{'}$ 交 $A A^{'}$ 于点 $D$ ．若 $∠ B A C = 3 0^{∘} ， B C = 2 \sqrt{2}$ ，则 $B^{'} D$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、因式分解： $a^{2} b - 6 a b + 9 b$ ；

(2)、下面是小明同学对多项式 $(y + 2 x)^{2} - (x + 2 y)^{2}$ 进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式 $= [(y + 2 x) + (x + 2 y)] [(y + 2 x) - (x + 2 y)]$ ……第一步
      $= (y + 2 x + x + 2 y) (y + 2 x - x + 2 y)$ ……第二步
      $= (3 x + 3 y) (x + 3 y)$ ……第三步
      $= 3 (x + y) (x + 3 y) .$ ……第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为；
③第步出现错误，错误的原因是；
④因式分解正确的结果为．

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17. 先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，其中 $a = 3$ ．

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18. 已知：如图，在 $▱$ ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 3 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 4) ， C (0 ， 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ ，请画出旋转后对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、将 $△ A B C$ 平移，使点 $A$ 的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(- 5 ， - 2)$ ，点 $B$ 的对应点为 $B_{2}$ ，点 $C$ 的对应点为 $C_{2}$ ，请画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于点成中心对称．

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20. 为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．

方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．

设校学生会计划购买 $x$ 个A种奖品，且 $x$ 是5的倍数，选择方案一的总费用为 $y_{1}$ 元，选择方案二的总费用为 $y_{2}$ 元．

(1)、请分别写出 $y_{1} ， y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

(2)、校学生会选择哪种方案支付的费用较少？

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21. 某班级组织同学们乘坐大巴车前往距学校 $50 k m$ 的山西博物院开展“研学之旅”，大巴车从学校出发时，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚 $20 m i n$ 从学校自驾小汽车出发，并以大巴车 $1.5$ 倍的速度走同样的路线赶往山西博物院，结果与大巴车同时到达．求大巴车和小汽车的平均速度．

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22. 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
$\times$ 年 $\times$ 月 $\times$ 日星期一
今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在 $△ A B C$ 中， $D ， E$ 分别是 $A B ， A C$ 边上的点，同学们提出了以下三个命题：

I.若 $D$ 是 $A B$ 边的中点，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ，则 $E$ 是 $A C$ 边的中点．
II.若 $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ，则 $D ， E$ 分别是 $A B ， A C$ 边的中点．
III.若 $D$ 是 $A B$ 边的中点，且 $D E ∥ B C$ ，则 $E$ 是 $A C$ 边的中点．
任务：

(1)、从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）

(2)、从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明．

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23. 综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，且 $C D < B C$ ，以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$ ，连接 $B E$ ，分别过点 $B$ 作 $B F ∥ E D$ ，过点 $D$ 作 $D F ∥ B E$ ，交于点 $F$ ，连接 $A F ， A C$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ．

(1)、试判断 $A F$ 和 $B E$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、猜想论证：将 $△ C D E$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中 $A F$ 和 $B E$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．

(3)、拓展延伸：将如图1所示的 $△ C D E$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转角度 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，当 $∠ A B F = 90 °$ 时，请直接写出 $α$ 的值．

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