湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023 学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在实数 $\sqrt[3]{8}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\frac{4}{3}$ 中，有理数有（　　）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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2. 某桑蚕丝的直径约为 $0.000017$ 米，将 $0.000017$ 用科学记数法表示是（　　）

A、 $1.7 \times 1 0^{- 4}$ B、 $1.7 \times 1 0^{- 5}$ C、 $1.7 \times 1 0^{- 6}$ D、 $17 \times 1 0^{- 4}$

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3. 一元二次方程 $x^{2} + m x = 2$ 的一个根为2，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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4. 一次函数 $y = 3 x - 5$ 的图象经过（）

A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限

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5. 已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（）

A、平均数是3 B、中位数是1 C、众数是2 D、方差是4.4

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6. 下列说法不正确的是（　　）

A、平行四边形的对边相等 B、菱形的邻边相等 C、矩形的对角线互相垂直 D、正方形的四个角均相等

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7. 将抛物线 $y = 3 x^{2}$ 先向右平移 $2$ 个单位，再向上平移 $6$ 个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）

A、 $y = 3 (x - 2)^{2} + 6$ B、 $y = 3 (x - 2)^{2} - 6$ C、 $y = 3 (x + 2)^{2} + 6$ D、 $y = 3 (x + 2)^{2} - 6$

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8. 某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程正确的是（　　）

A、 $80 (1 - x)^{2} = 100$ B、 $100 (1 - x)^{2} = 80$ C、 $100 (1 - 2 x)^{2} = 80$ D、 $80 (1 - 2 x)^{2} = 100$

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9. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（）

A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形

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10. 为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间近似满足函数关系式 $y = a x^{2} + \frac{24}{5} x$ ，则水流喷出的最大高度为（　　）

A、 $\frac{24}{5} m$ B、 $5 m$ C、 $\frac{11}{2} m$ D、 $6 m$

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二、填空题

11. 因式分解： $2 a^{2} - 8 a + 8 =$ ．

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12. 甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”，两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是 $s_{甲}^{2} = 2.5$ ， $s_{乙}^{2} = 3$ ，则两人成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙）

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13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝3，则BD的长为.

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14. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 5$ ，其与x轴有个交点．

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15. 如图，y＝k₁x+b₁与y＝k₂x+b₂交于点A，则方程组 ${\begin{matrix} y = k_{1} x + b_{1} \\ y = k_{2} x + b_{2} \end{matrix}$ 的解为.

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16. 如图，点D、E分别是 $△ A B C$ 的边 $A B 、 A C$ 的中点，连接 $D E$ ，点F在 $D E$ 上，连接 $B F$ ，且 $B F$ 平分 $∠ A B C$ ，若 $A B = 5$ ， $E F = 1$ ，则 $B C$ 的长为．

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + | 2 - \sqrt{12} | - {(- 1)}^{2023}$

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18. 已知： $x^{2} + 3 x = 0$ ，求代数式 $\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 2} - \frac{x - 2}{x + 1}$ 的值．

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19. 解方程：

(1)、 $(x + 1) (x - 1) = 1$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

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20. 某校为了解本校学生参与家务劳动时间的情况，在校内随机调查了100名学生的“上周内劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
A
          $t < 60$
8
B
          $60 \leq t < 90$
16
C
          $90 \leq t < 120$
x
D
          $t \geq 120$
36
根据上述信息，解答下列问题：

(1)、填表： $x =$ ；

(2)、这100名学生的“劳动时间”的中位数落在组；

(3)、若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．

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21. 方程 $x^{2} + 2 x + m - 1 = 0$ 是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别是 $x_{^{1}} 、 x_{2}$ ．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 3 x_{1} x_{2} + 10 = 0$ ，求m的值．

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22. 为促进销售，某地水果种植户借助网络平台，在线下批发的基础上同步网络零售水果．已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元．

(1)、求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？

(2)、该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果100千克，且网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，设网络零售a（a为正整数）千克，获得的总销售额为W元．请写出W与a之间的函数关系式，并求出当网络销售水果的数量为多少时，当天所获得的总销售额最大？最大销售额是多少？

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ∥ D F$ 且分别交对角线 $A C$ 于点E、F ，连接 $B D 、 B F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形；

(2)、若 $D F ⊥ A C$ ， $D F = 12$ ， $D C = B F = 13$ ，求 $B C$ 的长．

(3)、在（2）的条件下，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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24. 若函数 $G$ 在 $m \leq x \leq n (m < n)$ 上的最大值记为 $y_{m a x}$ ，最小值记为 $y_{m i n}$ ，且满足 $y_{m a x} - y_{m i n} = 1$ ，则称函数 $G$ 是在 $m \leq x \leq n$ 的“美好函数”．

(1)、函数① $y = x + 1$ ；② $y = | 2 x |$ ；③ $y = x^{2}$ ．其中函数是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的“美好函数”；（填序号）

(2)、已知函数 $G$ ： $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ ．
①函数 $G$ 是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的“美好函数”，求 $a$ 的值；
②当 $a = 1$ 时，函数 $G$ 是在 $t \leq x \leq t + 1$ 上的“美好函数”，请直接写出 $t$ 的值；

(3)、已知函数 $G$ ： $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a > 0)$ ，若函数 $G$ 是在 $m + 2 \leq x \leq 2 m + 1$ （ $m$ 为整数）上的“美好函数”，且存在整数 $k$ ，使得 $k = \frac{y_{m a x}}{y_{m i n}}$ ，求 $a$ 的值．

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25. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交x轴于点 $A (3 ， 0)$ 和点 $B (- 1 ， 0)$ ，交y轴于点C ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点D是直线 $A C$ 上方拋物线上一动点，连接 $B C$ ， $A D$ 和 $B D$ ， $B D$ 交 $A C$ 于点M ，设 $△ A D M$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C M$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} - S_{2} = 1$ 时，求点D的坐标；

(3)、如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作 $P Q ⊥ x$ 轴交直线 $A C$ 于Q点，请问在y轴上是否存在点E ，使以P ， Q ， E ， C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由

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组别	“劳动时间”t/分钟	频数
A	$t < 60$	8
B	$60 \leq t < 90$	16
C	$90 \leq t < 120$	x
D	$t \geq 120$	36