重庆市涪陵区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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2. 若式子 $\sqrt{x - 5}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x ≥ 5$ B、 $x > 5$ C、 $x = 5$ D、 $x \neq 5$

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3. 一次函数 $y = x - 2$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在期末考试中，初二某班级有1组、2组、3组、4组共四个组，每个组学生的数学成绩的平均分相等，方差分别为 $S_{1 组}^{2} = 5.2$ ， $S_{2 组}^{2} = 6.8$ ， $S_{3 组}^{2} = 11.4$ ， $S_{4 组}^{2} = 8.8$ ，则该班这四个组的学生期末数学成绩波动最小的是（）

A、1组 B、2组 C、3组 D、4组

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5. 下列四组线段，能构成直角三角形的是（）

A、2，2，4 B、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， 5 C、5，6，7 D、6，8，10

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6. 下列不属于矩形的性质是（）

A、两组对边分别平行 B、四个角都相等 C、每一条对角线平分一组内角 D、两条对角线相等

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7. 小颖家、图书馆、体育馆依次在一条直线上．周六小颖从家出发步行来到图书馆，在图书馆学习了一段时间后，又从图书馆乘车去体育馆锻炼，下面能反映小颖离家的路程y与出发时间x的函数关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，要从电线杆 $M N$ 离地面12米处的点N向地面拉一条长为13米的钢缆 $N A$ ，则地面钢缆固定点A到电线杆底部M的距离是（）米．

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $B E ⊥ A C$ 于点E，且 $A C = 4 C E$ ，若 $O C = 4$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、12 B、20 C、 $16 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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10. 对于任意实数m，n，若定义新运算 $m \otimes n = {\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) ， \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{array}$ ，给出三个说法：
① $18 \otimes 2 = 2 \sqrt{2}$ ；② $\frac{1}{1 \otimes 2} + \frac{1}{2 \otimes 3} + \frac{1}{3 \otimes 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{99 \otimes 100} = 100 \otimes 1$ ；③ $(a \otimes b) \cdot (b \otimes a) = | a - b |$ ．
以上说法中正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

11. 化简： $\sqrt{18} =$ .

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12. 为了了解同学们的睡眠时间，小丽同学了解到班级四位同学某天的睡眠时间分别为7.8小时，8.6小时，8.4小时，8.8小时，则这四位同学该天的平均睡眠时间是小时．

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13. 若点 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ 都在一次函数 $y = - x + b$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （用“＞”，“＜”或“＝”填空）．

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14. 在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 交于点O，若菱形 $A B C D$ 的周长为 $20 c m$ ， $B D = 8 c m$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是 $c m^{2}$ ．

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15. 如图，平面直角坐标系中，直线 $y = k x + b$ 与直线 $y = m x + 2$ 相交于点 $A (- 3 ， - 1)$ ，则不等式 $m x + 2 < k x + b$ 的解集为．

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16. 若 $x = \sqrt{3} - 1$ ，则代数式 $x^{2} + 2 x + 5$ 的值为．

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17. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 2 \sqrt{13}$ ，点M在 $B C$ 边上，连接 $A M$ ，将 $△ A B M$ 沿 $A M$ 翻折，得到 $△ A B^{'} M$ ， $M B^{^{'}}$ 交 $A D$ 于点N，若点N为 $A D$ 的中点，则 $B M$ 的长度为．

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18. 对于一个各位数字都不为零的四位正整数N，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N为“三生有幸数”，例如： $N = 5321$ ， ∵ $5 = 2 + 3$ ， $3 = 1 \times 3$ ， ∴5321是个“三生有幸数”；又如 $N = 8642$ ， ∵ $8 \neq 4 + 3$ ， ∴8642不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是．若将N的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的“反序数”，记作 $N^{'}$ ，例如： $N = 5321$ ，其“反序数” $N^{'} = 1235$ ．若一个“三生有幸数”N的十位数字为x，个位数字为y，设 $P (N) = \frac{N - N^{'} - 18 x}{81}$ ，若 $P (N)$ 除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N的最大值与最小值的差是．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} - {(π - 3)}^{0} + | 1 - \sqrt{3} |$ ；

(2)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ ．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中 $A B > A D$ ．

(1)、尺规作图：在 $C D$ 边上取一点M，使得 $C M = C B$ ，连接 $B M$ ；作∠ADC的平分线交 $A B$ 于点N（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作图形中，求证：四边形 $B M D N$ 是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵在平行四边形ABCD中， $A B ∥ D C$ ， ∴ $∠ C D N = ∠$     ▲         ，

∵DN平分∠ADC，

∴ $∠ C D N = ∠$     ▲         ，

∴ $∠ A D N = ∠ A N D$ ，

∴ $A D =$     ▲         ．

∵在平行四边形ABCD中， $A D = B C$ ，

又∵ $C M = B C$ ， ∴     ▲         ，

∵在平行四边形ABCD中， $A B = C D$ ，

∴ $A B - A N = C D - C M$ ，即    ▲         ，

又∵ $B N ∥ D M$ ， ∴四边形BMDN是平行四边形．

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21. 为了激励新时代青年奋发有为、激扬青春，学校团委举行了以“奋进新时代，开启新征程”为主题的征文比赛．现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用x表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．

80 \leq x < 85

， B．

85 \leq x < 90

， C．

90 \leq x < 95

， D．

95 \leq x \leq 100

．下面给出了部分信息：

七年级被抽取的20名学生的比赛成绩分别是：96，84，90，83，87，85，90，96，100，99，98，99，92，93，94，92，89，96，91，86；

八年级被抽取的20名学生的比赛成绩在C等级中的数据分别是：90，91，92，92，93，94；

七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表

年级	平均数	中位数	众数	优秀率
七年级	92	92	a	35%
八年级	92	b	98	c%

【小问1】

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、请填空：

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、根据以上数据，你认为这次征文比赛中该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；

(3)、若该校七年级有1000人、八年级有1200人参加了这次征文比赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次征文比赛成绩为优秀的共有多少人？

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $D E ⊥ A B$ 于点E， $D F ⊥ B C$ 于点F．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C D F$ ；

(2)、连结 $A C$ ，分别交 $D E ， D F$ 于点M，N，求证： $A M = C N$ ．

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23. 2023年的政府工作报告中传递出文旅发展新动态，某区政府积极响应，对辖区内的景点设施和交通等硬件进行改造和升级，提升消费者的满意程度．如图，该区有A、B、C、D四个景点，景点A、D、C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向、且在景点C的西北方向上，现有公路 $A B$ 、 $A D$ 、 $B D$ 、 $D C$ ，已知 $A D = 6$ 千米， $B D = 8$ 千米．

(1)、求公路 $A B$ 的长度；

(2)、区政府准备在景点C、B之间修一条互通大道（即线段 $B C$ ），并在 $B C$ 大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D、E之间也修建一条互通大道（即线段 $D E$ ），且 $D E ⊥ B C$ ．若修建互通大道 $B C$ 、 $D E$ 的费用均是每千米100万元，请求出修建互通大道 $B C$ 、 $D E$ 的总费用约是多少万元？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，动点P从点A出发，沿折线 $A - B - C$ 运动，当点P到达点C时停止运动．连结 $D P ， D B$ ，若点P运动的路程为 $x (x ≥ 0)$ ， $△ B P D$ 的面积为y，当点P与点B重合时的值为0

(1)、求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质；

(3)、根据图象，直接写出当 $y > 4$ 时，x的取值范围．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - \frac{5}{4} x - 3$ 与x轴、y轴分别交于点A，B，直线 $l_{2}$ 交x轴、y轴分别于点 $C (- 6 ， 0)$ ， $D (0 ， 6)$ ，直线 $l_{2}$ 与直线 $l_{1}$ 交于点E，连接 $B C$ ．

(1)、求直线 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、求 $△ B C E$ 的面积；

(3)、连接 $O E$ ，若点P是x轴上一动点，连接 $P E$ ，当 $△ P O E$ 为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

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26. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B D C$ ，点E为 $B C$ 边上一点，连结 $A E$ 交对角线 $B D$ 于点F．

(1)、如图，若 $∠ A D B = 60 °$ ， $A E = 2 B E = 4$ ，求 $A B$ 的长度；

(2)、如图，若 $∠ A D B = 120 °$ ，点G，H为 $A E$ 边的两点，连接 $D G$ ， $D H$ ， $B G$ ，且满足 $∠ H D G = ∠ D G B = 60 °$ ．求证： $D G - B G = 2 D H$ ．

(3)、如图，若 $∠ A D B = 60 °$ ， $B D = 6$ ，将 $△ A D F$ 沿射线 $D B$ 方向平移，得到 $△ A^{'} D^{'} F^{'}$ ，连接 $A^{'} C$ ， $C D^{'}$ ，当 $C D^{'} + C A^{'}$ 的值最小时，请直接写出 $C D^{'} + C A^{'}$ 的最小值．

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