吉林省长春市二道区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 64的平方根是（）

A、32 B、8 C、-8 D、±8

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $(a b)^{3} = a b^{3}$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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3. 下列命题：（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于 $180 °$ ；（3）三角形的外角和等于 $360 °$ ；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 若 $x^{2} - k x + 9$ 是完全平方式，则k的值是（）

A、 $\pm 3$ B、 $\pm 6$ C、3 D、6

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边分别是a，b，c，下列条件中不能说明 $△ A B C$ 是直角三角形是（）

A、 $b^{2} = (a + c) (a - c)$ B、 $a ： b ： c = 1 ： \sqrt{3} ： 2$ C、 $∠ C = ∠ A - ∠ B$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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6. 如图，已知 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，欲证 $△ A B D ≌ △ A C E$ ，不可补充的条件是（）

A、 $B D = C E$ B、 $∠ D = ∠ E$ C、 $∠ B A D = ∠ C A E$ D、 $∠ B A C = ∠ D A E$

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7. 小明同学在用直尺和圆规作一个角的平分线，具体过程是这样的：
已知： $∠ A O B$ ．
求作： $∠ A O B$ 的平分线．
作法：第一步：如图，以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧交 $O A$ 于点 $M$ ，交 $O B$ 于点 $N$ ．
第二步：分别以点 $M 、 N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ 的长为半径画孤，两弧在 $∠ A O B$ 的内部相交于点 $C$ ．
第三步：画射线 $O C$ ．
射线 $O C$ 就是所要求作的 $∠ A O B$ 的平分线．
下列关于小明同学作法的理由，叙述正确的是（）

A、由 $S A S$ 可得 $△ O C M ≌ △ O C N$ ，进而可证 $∠ A O C = ∠ B O C$ B、由 $S S S$ 可得 $△ O C M ≌ △ O C N$ ，进而可证 $∠ A O C = ∠ B O C$ C、由 $A S A$ 可得 $△ O C M ≌ △ O C N$ ，进而可证 $∠ A O C = ∠ B O C$ D、由“等边对等角”可得 $∠ A O C = ∠ B O C$

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8. 如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（）

A、 $a^{2} + a b = a (a + b)$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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二、填空题

9. 比较大小： $\sqrt{6}$ 3.

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10. 已知一个立方体的体积是 $27 c m^{3}$ ，那么这个立方体的棱长是 $c m$ .

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11. 因式分解： $3 a^{2} + 9 a b =$

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12. 某班级共有 $50$ 名学生，在一次体育抽测中有 $5$ 人不合格，那么不合格人数的频率为．

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13. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得 $A^{'} B^{'} = 20 c m$ ，则工件内槽宽 $A B =$ $c m$ ．

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14. 如图，等边 $△ A B C$ 中，点 $Q$ 是边 $A C$ 的中点， $∠ A C B$ 的平分线交边 $A B$ 于点 $D$ ， $A D = 1$ ，点 $P$ 是线段 $C D$ 上的任意一点，连接 $A P$ 、 $P Q$ ，则 $A P + P Q$ 的最小值为．

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三、解答题

15. 计算： $\sqrt{(- 3)^{2}} + | 2 - π | - \sqrt[3]{8}$

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16. 先化简，再求值： $x^{2} (x + 1) - x (x^{2} - x + 1)$ ，其中 $x = 5$ ．

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17. 如图，在一张半径为R的圆形钢板上，挖去半径均为r的四个小圆．计算当 $R = 7.8 c m$ ， $r = 1.1 c m$ 时剩余部分的面积（ $π$ 取3）．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A D = D C$ ， $∠ B A D = 28 °$ ，求 $∠ B$ 和 $∠ C$ 的度数．

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19. 图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．

(1)、在图①中以线段 $A B$ 为一腰画一个等腰锐角三角形 $A B C$ ．

(2)、在图②中以线段 $A B$ 为底画一个等腰直角三角形 $A B D$ ．

(3)、在图③中以线段 $A B$ 为边画等腰钝角三角形 $A B E$ ．

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20. $2022$ 年卡塔尔世界杯足球赛刚刚结束，小明同学随机对身边喜欢足球的同学进行了“我最喜欢的国家球队”问卷调查（问卷共设有五个选项：“ $A$ —法国”、“ $B$ —巴西”、“ $C$ —葡萄牙”、 “ $D$ —阿根廷”、“ $E$ —英国”，参加问卷调查的这些学生每人只选其中的一个选项），现将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息解决下列问题：

(1)、求本次调查的学生人数．

(2)、补全上面的条形统计图．

(3)、计算扇形统计图中“ $B$ ”的圆心角度数．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 的中点，过点 $C$ 画直线 $C E$ ，使 $C E ∥ A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ E C D$ ；

(2)、若 $A C = 3$ ， $C E = 5$ ， $B D$ 的长是偶数，则 $B D$ 长为．

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22. 如图，一架 $2.6 m$ 长的梯子 $A B$ 斜靠在一竖直的墙 $A C$ 上， $∠ C = 90 °$ ，这时，梯子的底端 $B$ 到墙底 $C$ 的距离 $B C$ 为 $1 m$ ．

(1)、求此时梯子的顶端 $A$ 距地面的高度 $A C$ ．

(2)、如果梯子的顶端 $A$ 沿墙下滑 $0.5 m$ ，那么梯子底端 $B$ 外移 $0.5 m$ 吗？通过计算说明你的结论．

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23. 阅读材料：
若x满足 $(9 - x) (x - 4) = 4$ ，求 $(9 - x)^{2} + (x - 4)^{2}$ 的值．

解：设 $9 - x = a$ ， $x - 4 = b$ ，则 $(9 - x) (x - 4) = a b = 4$ ，

∴ $a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$ ，

∴ $(9 - x)^{2} + (x - 4)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$ ．

类比应用：

(1)、若 $(3 - x) (x - 2) = - 1$ ，求 $(3 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值．

(2)、若 $(n - 2022)^{2} + (2023 - n)^{2} = 10$ ，则 $(n - 2022) (2023 - n)$ 的值为．

(3)、已知正方形 $A B C D$ 的边长为a，点P和点R分别是边 $A B$ 和 $C D$ 上的点，且 $A P = 4$ ， $C R = 2$ ，分别以 $B P$ 和 $D R$ 为边长作正方形 $P B E F$ 和正方形 $D M N R$ ．若图中阴影部分长方形的面积是4，则正方形 $P B E F$ 和正方形 $D M N R$ 的面积和为．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 15 c m$ ， $B C = 9 c m$ ，过点 $A$ 作射线 $A D ∥ B C$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，以 $3 c m / s$ 的速度沿 $B A$ 向终点 $A$ 运动：点 $Q$ 从点 $A$ 出发，以 $a c m / s$ 的速度沿射线 $A D$ 运动．点 $P$ 、 $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $A$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．连结 $P C$ 、 $P Q$ ，设运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、线段 $A P =$ $c m$ （用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、求 $A C$ 的长．

(3)、当 $△ A P Q$ 与 $△ B C P$ 全等时，
①若点 $P$ 、 $Q$ 的移动速度相同，求 $t$ 的值．
②若点 $P$ 、 $Q$ 的移动速度不同，求 $a$ 的值．

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