山东省潍坊市2023年中考数学真题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在实数1，－1，0， $\sqrt{2}$ 中，最大的数是（）

A、1 B、－1 C、0 D、 $\sqrt{2}$

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2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 实数a ， b ， c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（）

A、 $- c < b$ B、 $a > - c$ C、 $| a - b | = b - a$ D、 $| c - a | = a - c$

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4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = x - 2$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{3}{x}$ 的图象交于A ， B两点，下列结论正确的是（）

A、当 $x > 3$ 时， $y_{1} < y_{2}$ B、当 $x < - 1$ 时， $y_{1} < y_{2}$ C、当 $0 < x < 3$ 时， $y_{1} > y_{2}$ D、当 $- 1 < x < 0$ 时， $y_{1} < y_{2}$

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6. 如图，在直角坐标系中，菱形 $O A B C$ 的顶点A的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ， $∠ A O C = 60 °$ ．将菱形 $O A B C$ 沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 2 ， \sqrt{3} - 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ D、 $(- \sqrt{3} ， \sqrt{3} - 1)$

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二、多选题

7. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{- 64} = 4$ B、 $\sqrt{4} = 2$ C、 ${(- 3 a)}^{2} = 9 a^{2}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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8. 下列命题正确的是（）

A、在一个三角形中至少有两个锐角 B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C、如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D、两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等

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9. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 5 x - 3$ 经过点 $(- 1 ， 4)$ ，则下列结论正确的是（）

A、拋物线的开口向下 B、拋物线的对称轴是 $x = \frac{5}{4}$ C、拋物线与 $x$ 轴有两个交点 D、当 $t < - \frac{49}{8}$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - 5 x - 3 - t = 0$ 有实根

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10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成 $⊙ O$ ， $A B$ 与 $B O$ 表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与 $⊙ O$ 的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D ．若 $A B = 12$ ， $O B = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $F C = 2$ B、 $E F = 12$ C、当 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切时， $E A = 4$ D、当 $O B ⊥ C D$ 时， $E A = A F$

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三、填空题

11. 从 $- \sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ 中任意选择两个数，分别填在算式 ${(□ + ○)}^{2} \div \sqrt{2}$ 里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）

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12. 用与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为．借助显示结果，可以将一元二次方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的正数解近似表示为．（精确到 $0.001$ ）

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13. 投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是．

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14. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示， $A B$ 表示塔的高度， $C D$ 表示竹竿顶端到地面的高度， $E F$ 表示人眼到地面的高度， $A B$ 、 $C D$ 、 $E F$ 在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知 $A C = 20$ 米， $C E = 10$ 米， $C D = 7$ 米， $E F = 1.4$ 米，人从点F远眺塔顶B ，视线恰好经过竹竿的顶端D ，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．

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四、解答题

15.

(1)、化简： $(\frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1}) + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 2 x}$

(2)、利用数轴，确定不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x + 4) \geq 2 (1 - x) \\ \frac{x - 1}{2} < 3 - \frac{2 x}{3} \end{array}$ 的解集．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $A E ⊥ C D$ ，重足为点E ，过点E作 $E F ∥ B C$ 、交 $A C$ 于点F ， G为 $B C$ 的中点，连接 $F G$ ．求证： $F G = \frac{1}{2} A B$ ．

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17. 如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东 $60 °$ 方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西 $30 °$ 方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东 $15 °$ 方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

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18. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（ $0 \leq x \leq 20$ ），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．

(1)、从 $y = a x + 21 (a \neq 0)$ ， $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ， $y = - 0.04 x^{2} + b x + c$ 中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 $y$ 随 $x$ 变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；

(2)、查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？

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19. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇）
1
2
3
4
5
七年级频数（人）
7
10
15
12
6
八年级频数（人）
2
10
13
21
4
【数据的描述与分析】

(1)、求扇形统计图中圆心角 $α$ 的度数，并补全频数直方图．

(2)、根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
3
$\bar{x}$
1.48
八年级
m
n
3.3
1.01
直接写出表格中m、n的值，并求出 $\bar{x}$ ．

(3)、【数据的应用与评价】
从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．

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20. 工匠师傅准备从六边形的铁皮 $A B C D E F$ 中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量， $A B ∥ D E$ ， $A B$ 与 $D E$ 之间的距离为2米， $A B = 3$ 米， $A F = B C = 1$ 米， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $∠ C = ∠ F = 135 °$ ． $M H$ ， $H G$ ， $G N$ 是工匠师傅画出的裁剪虚线．当 $M H$ 的长度为多少时，矩形铁皮 $M N G H$ 的面积最大，最大面积是多少？

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21. 如图，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，在 $\overset{⌢}{A B}$ 上取一点E ，连接 $A E$ ， $D E$ ．过点A作 $A G ⊥ A E$ ，交 $⊙ O$ 于点G ，交 $D E$ 于点F ，连接 $C G$ ， $D G$ ．

(1)、求证： $△ A F D ≌ △ C G D$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $∠ B A E = 30 °$ ，求阴影部分的面积．

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22. ［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究 $q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n} + …$ 的值，其中 $0 < q < 1$ ．
例求 $\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} + ⋯ + {(\frac{1}{2})}^{n} + ⋯$ 的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
$\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} + ⋯ + {(\frac{1}{2})}^{n} + ⋯$ 的结果等于该正方形的面积，
即 $\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} + ⋯ + {(\frac{1}{2})}^{n} + ⋯ = 1$ ．
方法2：借助函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 和 $y = x$ 的图象，观察图②可知
$\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} + ⋯ + {(\frac{1}{2})}^{n} + ⋯$ 的结果等于 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{n}$ …等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到 $x$ 轴的距离．因为两个函数图象的交点 $(1 ， 1)$ 到 $x$ 轴的距为1，
所以， $\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} + ⋯ + {(\frac{1}{2})}^{n} + ⋯ = 1$ ．

【实践应用】

(1)、任务一   完善 $\frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{3} + ⋯ + {(\frac{2}{3})}^{n} + ⋯$ 的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 $\frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{3} + ⋯ + {(\frac{2}{3})}^{n} + ⋯ =$ ．
方法2：借助函数 $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ 和 $y = x$ 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为，
所以， $\frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{3} + ⋯ + {(\frac{2}{3})}^{n} + ⋯ =$ ．

(2)、任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求 $\frac{3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{3} + ⋯ + {(\frac{3}{4})}^{2} + ⋯$ 的值．

(3)、任务三   用方法2，求 $q + q^{2} + q^{3} + ⋯ + q^{n} + ⋯$ 的值（结果用 $q$ 表示）．

(4)、【迁移拓展】
长宽之比为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2} ： 1$ 的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出 ${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{4} + {(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{6} + ⋯ + {(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2 n} + ⋯$ 的值．

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投稿篇数（篇）	1	2	3	4	5
七年级频数（人）	7	10	15	12	6
八年级频数（人）	2	10	13	21	4

统计量	中位数	众数	平均数	方差
七年级	3	3	$\bar{x}$	1.48
八年级	m	n	3.3	1.01