湖南省湘西2023年中考数学真题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 2023$ 的相反数是（）

A、 $- 2023$ B、2023 C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 今年五一假期，湘西州接待游客160.3万人次，实现旅游收入1673000000元，旅游复苏形势喜人将1673000000用科学记数法表示为（）

A、 $16.73 \times 1 0^{8}$ B、 $1.673 \times 1 0^{8}$ C、 $1.673 \times 1 0^{9}$ D、 $1.673 \times 1 0^{10}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$ B、 ${(3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ C、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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4. 已知直线 $a ∥ b$ ，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放．若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $140 °$ D、 $150 °$

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5. 某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重（单位： $k g$ ）如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、42，36 B、42，42 C、40，40 D、42，40

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6. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 < 2 \\ 1 - x < 4 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 一个七边形的内角和是（）

A、 $1080 °$ B、 $900 °$ C、 $720 °$ D、 $540 °$

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9. 如图，点A在函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象上，点B在函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象上，且 $A B ∥ x$ 轴， $B C ⊥ x$ 轴于点C ，则四边形 $A B C O$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 在 $A B$ 的延长线上， $P C$ ， $P D$ 与 $⊙ O$ 相切，切点分别为C ， D ．若 $A B = 10 ， P C = 12$ ，则 $s i n ∠ C A D$ 等于（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{13}{12}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{12}{13}$

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二、填空题

11. 在实数3， $- 2$ ， $\frac{1}{2}$ ， 2中，最小的实数是．

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12. 若二次根式 $\sqrt{2 x - 10}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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13. 分解因式 $2 x^{2} - 2$ =

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14. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是．

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15. 在平面直角坐标系中，已知点 $P (a ， 1)$ 与点 $Q (2 ， b)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a + b =$ ．

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16. 已知一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 的一个根为 $x_{1} = 1$ ．则另一个根 $x_{2} =$ ．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $B C$ 上，点F是AE的中点， $A B = 8 ， A D = D E = 10$ ，则 $B F$ 的长为．

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18. 如图， $⊙ O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆，其半径为4．过点B作 $B E ⊥ A C$ 于点E ，点P为线段 $B E$ 上一动点（点P不与B ， E重合），则 $C P + \frac{1}{2} B P$ 的最小值为．

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三、解答题

19. 计算： ${(π + 2023)}^{0} + 2 s i n 45 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + | \sqrt{2} - 2 |$ ．

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20. 先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 1$ ．

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21. 某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行同卷调查，根据统计的数据，绘制了如下图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：

(1)、该校此次调查共抽取了名学生；

(2)、在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为．

(3)、请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；

(4)、若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B M ∥ D N$ ，且分别交对角线 $A C$ 于点M ， N ，连接 $M D ， B N$ ．

(1)、求证： $∠ D M N = ∠ B N M$ ；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ D A C$ ．求证：四边形 $B M D N$ 是菱形．

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23. 如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家 $0.6 k m$ ，图书馆离小明家 $0.8 k m$ ．小明从家出发，匀速步行了 $8 m i n$ 去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了 $3 m i n$ 去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了 $10 m i n$ 回到家图（ $2$ ）反映了这个过程中，小明离家的距离 $y$ 与时间 $x$ 之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：

(1)、填空：
①食堂离图书馆的距离为 $k m$ ；
②小明从图书馆回家的平均速度是 $k m / m i n$ ；
③小明读报所用的时间为 $m i n$ ．
④小明离开家的距离为 $\frac{2}{3} k m$ 时，小明离开家的时间为 $m i n$ ．

(2)、当 $0 \leq x \leq 28$ 时，请直接写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

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24. 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元，销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．

(1)、求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？

(2)、甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．

(3)、在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？

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25. 如图，点D ， E在以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $∠ A D C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点B ，连接 $B A$ ， $E C$ ， $E A$ ，过点E作 $E H ⊥ A C$ ，垂足为H ，交 $A D$ 于点F ．

(1)、求证： $A E^{2} = A F \cdot A D$ ；

(2)、若 $s i n ∠ A B D = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， A B = 5$ ，求 $A D$ 的长．

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26. 如图（1），二次函数 $y = a x^{2} - 5 x + c$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (b ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ．

(1)、求二次函数的解析式和 $b$ 的值．

(2)、在二次函数位于 $x$ 轴上方的图像上是否存在点 $M$ ，使 $S_{△ B O M} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$ ？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图（2），作点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点 $E$ ，连接 $C E$ ，作以 $C E$ 为直径的圆．点 $E^{'}$ 是圆在 $x$ 轴上方圆弧上的动点（点 $E^{'}$ 不与圆弧的端点 $E$ 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段 $A E$ ，使点 $E$ 移动到点 $E^{'}$ ，线段 $A E$ 的对应线段为 $A^{'} E^{'}$ ，连接 $E^{'} C$ ， $A^{^{'}} A$ ， $A^{^{'}} A$ 的延长线交直线 $E^{'} C$ 于点 $N$ ，求 $\frac{A A^{'}}{C N}$ 的值．

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