【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：必要条件、充分条件与充要条件的判断2

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. “ $x$ 为整数”是“ $2 x + 1$ 为整数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $\sin x = 1$ ”是“ $\cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 ${a_{n}}$ 是公差不为0的无穷等差数列，则“ ${a_{n}}$ 为递增数列”是“存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时， $a_{n} > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知空间中两条不重合的直线 $a ， b$ ，则“ $a$ 与 $b$ 没有公共点”是“ $a / / b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $z \in R$ 的充要条件是 $z = \bar{z}$ B、 $z$ 是纯虚数的充要条件是 $z + \bar{z} = 0$ C、若 $z^{2} = | z |^{2}$ ，则 $z \in R$ D、若 $z^{2} + | z |^{2} = 0$ ，则 $z$ 是纯虚数

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6. “点 $(a ， b)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 外”是“直线 $a x + b y + 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，直线 $l ⊄ / α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在 $△ A B C$ 中，“ $△ A B C$ 是钝角三角形”是“ $t a n A t a n B < 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知 $i$ 是虚数单位， $z = {(x + y i)}^{2}$ ， $x ， y \in R$ ，则“ $x = y = 1$ ”是“ $| z | = 2$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 在 $△ A B C$ 中，“ $A = 30 °$ ”是“ $s i n A = \frac{1}{2}$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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11. “ $α > \frac{π}{2}$ ”是“ $α - s i n α > \frac{π}{2} - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 下列说法中，正确的有（）

A、复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ ； B、“ $θ$ 为钝角”是“复数 $z = c o s θ + i s i n θ$ 在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件； C、已知复数 $z_{1} ， z_{2} ，$ “ $z_{1} ， z_{2}$ 的虚部相等”是“ $z_{1} = z_{2}$ ”的必要条件 D、在复数范围内，若 $2 i - 3$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一根，则该方程的另一根是 $2 i + 3$

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13. 在 $△ A B C$ 中，已知命题p： $△ A B C$ 为钝角三角形，命题 $q ： \vec{A B} \cdot \vec{B C} > 0$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 若“ $0 < x < 3$ ”是“ $x > l o g_{2} a$ ”的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 8)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， + ∞)$

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二、填空题

15. 已知集合 $A = {x ∣ y = l n (2 x^{2} - x - 6)} ， B = {x ∣ 9^{x + m} - 27 > 0}$ ，若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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16. 使命题“ $\forall x \in R$ ， $k x^{2} + k x + 1 > 0$ ”为真命题的一个充分条件是.

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17. 已知 $x \geq 2 a - 1$ 是 $x ≥ 3$ 的充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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18. 设 $x ∈ R$ ，则“ $x^{3} \geq 8$ ”是“”的充分条件，是“”的必要条件．（答案不唯一，写出一组即可）

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19. 若“ $x = 0$ ”是“ $x < m$ ”的充分条件，则实数m的取值范围是．

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20. 已知 $p ： x^{2} - 8 x + 15 < 0$ ， $q ： (x - 2 m) (x - 5 m) < 0$ ，其中 $m > 0$ .若 $q$ 是 $p$ 的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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21. 已知 $p ： \frac{4}{10 - x} \geq 1$ ， $q ： x > 1$ ， $r ： a < x < 2 a$ ．若 $r$ 是 $p$ 的必要不充分条件，且 $r$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围为．

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22. 设 $p ： x < 3 ， q ： x ⩽ 2$ ，则 $p$ 是 $q$ 的.（填入“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”）

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23. 若集合 $A = {x | (x + 2) (x - 3) < 0}$ ， $B = {x | 3 - m \leq x \leq 5 + m}$ ，且“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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24. 若“ $x > k$ ”是“ $- 3 \leq x < 2$ ”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是．

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三、解答题

25. 数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=﹣x²_n+x_n+c（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：{x_n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{x_n}是递增数列．

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26. 分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如 $w = f (z) = \frac{a z + b}{c z + d} (a d - b c \neq 0)$ 的变换，其中 $w$ 称为 $z$ 的“像”， $z$ 称为 $w$ 的“原像”．

(1)、若 $a = b = c = - d = 1$ ，求 $i$ 的“像”以及 $1 + i$ “原像”；

(2)、若 $a = b = i$ ， $c = - d = - 1$ ，求证： $I m w > 0$ 的充要条件是 $z < 1$ ；

(3)、若 $a = c = 1$ ， $b = - d = - i$ ， $z$ 满足 $0 < I m z < 1$ ，求 $z$ 的“像”在复平面上所构成图形的面积．

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27. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 a x - 3$ ，集合 $A = [1 ， 4] .$

(1)、当 $x \in [1 ， 3]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、记集合 $B = {x | f (x) ⩾ 0}$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的必要条件，求实数a的取值范围.

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28. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 $y = f (x)$ ，如果对于其定义域 $D$ 中任意给定的实数 $x$ ，都有 $- x \in D$ ，并且 $f (x) \cdot f (- x) = 1$ ，就称函数 $y = f (x)$ 为倒函数.

(1)、已知 $f (x) = 2^{x} ， g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ ，判断 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 是否为倒函数；

(2)、若 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的倒函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{2^{- x} + x^{2}}$ ，方程 $f (x) = 2023$ 是否有正整数解？并说明理由；

(3)、若 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 $R$ 上是增函数.记 $F (x) = f (x) - \frac{1}{f (x)}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 0$ 是 $F (x_{1}) + F (x_{2}) > 0$ 的充要条件.

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29. 已知 $p ： x^{2} - 5 x - 6 < 0$ ， $q ： 1 - m \leq x \leq 3 + m$ ．

(1)、若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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30. 已知命题p：实数x满足 $x^{2} - 7 x + 10 \leq 0 ，$ 命题q：实数x满足 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} \leq 0 .$ 其中m> 0.

(1)、若m=4且命题p， q都为真命题，求实数x的取值范围；

(2)、若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

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31. 已知条件p：x²+x-6=0，条件q：mx+1=0，且q是p的充分不必要条件，求m的值.

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32. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $M$ ，且区间 $I \subseteq M$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in I$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，记 $Δ x = x_{2} - x_{1}$ ， $Δ y = f (x_{2}) - f (x_{1})$ .若 $Δ y + Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $A$ ；若 $Δ y - Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $B$ ；若 $Δ y \cdot Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $C$ ；若 $\frac{Δ y}{Δ x} > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $D$ .

(1)、记：①充分而不必要条件；
②必要而不充分条件；

③充要条件；

④既不充分也不必要条件

则 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $A$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

$f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $B$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

$f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $C$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

(2)、若 $f (x) = a x^{2} + 1$ 在 $[1 ， + \infty)$ 满足性质 $B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = \frac{1}{| x |}$ 在区间 $[m ， n]$ 上恰满足性质 $A$ ､性质 $B$ ､性质 $C$ ､性质 $D$ 中的一个，直接写出实数 $m$ 的最小值.

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33. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ，集合 $B = {x | m - 2 \leq x \leq m + 2 ， m \in R}$ ．

(1)、若 $A \cap B = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $p ： x \in A$ ， $q ： x \in ∁_{R} B$ ，且p是q的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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34. 命题 $P ：$ 已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 4 m + 2}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，且函数 $g (x) = \frac{1}{2} f (x) + 4 x - 3 l n x$ 在 $(a ， a + 1)$ 上单调递增时，实数a的范围为集合A﹔命题 $q ：$ 关于x的不等式 $(x - t^{2}) (x - 2 t + 1) \leq 0$ 的解集为B．

(1)、若命题P为真命题，求集合A；

(2)、在（1）的条件下，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分不必要条件．求实数t的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} (x^{2} - c o s 2 x) - 2 x s i n x - c o s x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上的单调区间；

(2)、设 $f (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，函数 $g (x) = (2 a - 1) x + (a + 2) x c o s x - s i n 2 x + f^{'} (x)$ ，若 $g (x) > 0$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围．

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