【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：必要条件、充分条件与充要条件的判断1

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. “ $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ”是“ $s i n α + c o s β = 0$ ”的（）

A、充分条件但不是必要条件 B、必要条件但不是充分条件 C、充要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件

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2. “ $a^{2} = b^{2}$ ”是“ $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 设 $p ： x > 0$ ， $q ： 1 < x < 3$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $x ∈ R$ ，则“ $x < 2$ ”是“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设 $x ， y \in R$ ，则“ $x = - y$ ”是“ $x^{2} - y^{2} - x - y = 0$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ”是“ $0 < m < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若直线 $l ⊂$ 平面 $α$ ，直线 $m \subset$ 平面 $β$ ，则“ $l / / β$ ”的一个必要不充分条件是（）

A、 $α ∥ β$ B、 $l$ ， $m$ 共面 C、 $m ∥ α$ D、 $l$ ， $m$ 无交点

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8. “ $a = 0$ 且 $b = 1$ ”是“复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ 是纯虚数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c .$ 已知 $p ： \frac{a}{s i n C} = \frac{b}{s i n A} = \frac{c}{s i n B}$ ， $q ： △ A B C$ 是等腰三角形 $.$ 则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，直线 $l ⊄ α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 已知 $a ， b$ 为非零实数，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 已知 $a ， b ， l$ 是直线， $α$ 是平面，若 $a / / α ， b \subset α$ ，则“ $l ⊥ a ， l ⊥ b$ ”是“ $l ⊥ α$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13. “ $a = - 1$ ”是“直线 $l_{1} ： a x + 4 y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + (a - 3) y + 2 = 0$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. “ $(l o g_{a} 2) x^{2} + (l o g_{b} 2) y^{2} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆” 的一个充分非必要条件是（）

A、 $0 < a < b$ B、 $1 < a < b$ C、 $2 < a < b$ D、 $1 < b < a$

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二、填空题

15. 若“ $x = 1$ ”是“ $x > a$ ”的充分条件，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知 $a \in R ，$ ，且“ $x > a$ ”是“ $x^{2} > 2 x$ ”的充分不必要条件，则a的取值范围是.

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17. 写出一个使命题“ $\exists x \in (2 ， 3)$ ， $m x^{2} - m x - 3 > 0$ ”成立的充分不必要条件（用m的值或范围作答）．

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18. 给出以下命题：
① “ $a \leq 3$ ”是“ $\exists x_{0} \in [0 ， 2]$ ， ${x_{0}}^{2} - a \geq 0$ ”的充分不必要条件；
②垂直于同一个平面的两个平面平行；
③若随机变量X~N（3， $σ^{2}$ ），且 $p (X \geq 6) = 0.2$ ，则 $p (0 \leq X \leq 6) = 0.4$ ；
④已知点P（2，0）和圆O： $x^{2} + y^{2} = 36$ 上两个不同的点M，N，满足∠MPN=90°，Q是弦MN的中点，则点Q的轨迹是一个圆.
其中正确命题的序号是.

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19. 使得“ $2^{x} > 4^{x^{2}}$ ”成立的一个充分条件是.

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20. 给出下列命题：
①垂直于同一个平面的两个平面平行；

②“ $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角”的充分不必要条件；

③斜二测画法中边长为2的正方形的直观图的面积为 $\sqrt{2}$ ；

④函数 $f (x) = \frac{4}{\sin^{2} x} + \sin^{2} x$ 的最小值为4；

⑤已知 $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\tan (α - β) = - \frac{1}{3}$ ，则 $\tan β = 3$ .

其中正确的有(填上你认为正确命题的序号)

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21. “ $ω$ ＝2”是“函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ 的图象关于点( $\frac{5 π}{12}$ ，0)对称”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）.

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22. 已知曲线C： $f (x) = x^{3} - x$ ，直线 $l$ ： $y = a x - a$ ，则“ $a = - \frac{1}{4}$ ”是“直线 $l$ 与曲线C相切”的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）.

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23. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）
$①$ 因为 $s i n (x + \frac{π}{3}) \neq s i n x ，$ 所以 $\frac{π}{3}$ 不是函数 $y ＝ s i n x$ 的周期； $②$ 对于定义在 $R$ 上的函数 $f （ x ），$ 若 $f (﹣ 2) \neq f （ 2 ），$ 则函数 $f (x)$ 不是偶函数； $③$ “ $M > N$ ”是“ $l o g_{2} M > l o g_{2} N$ ”成立的充分必要条件； $④$ 若实数 $a$ 满足 $a^{2} \leq 4 ，$ 则 $a \leq 2$ ．

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24. “直线l₁： $a x + y + 1 = 0$ 与直线l₂： $4 x + a y + 3 = 0$ 平行”是“a＝2”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．

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三、解答题

25. 已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n ，第n项之后各项a_n+1 ， a_n+2…的最小值记为B_n ， d_n=A_n﹣B_n ．

(1)、若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N^* ， a_n+4=a_n），写出d₁ ， d₂ ， d₃ ， d₄的值；

(2)、设d是非负整数，证明：d_n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；

(3)、证明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），则{a_n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

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26. 对于数列 ${a_{n}}$ ，记 $V (n) = | a_{2} - a_{1} | + | a_{3} - a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} - a_{n - 1} | (n > 1 ， n \in N^{*})$ ．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 通项公式为： $a_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2} (n \in N^{*})$ ，求 $V (5)$ ；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a$ ， $a_{n} = b$ ，且 $a > b$ ，求证： $V (n) = a - b$ 的充分必要条件是 $a_{i + 1} \leq a_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n - 1)$ ；

(3)、已知 $V (2022) = 2022$ ，若 $y_{t} = \frac{1}{t} (a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{t})$ ， $t = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2022$ ．求 $| y_{2} - y_{1} | + | y_{3} - y_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | y_{2022} - y_{2021} |$ 的最大值．

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27. 已知函数 $f (x) = 2 - | x |$ ，无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、若 $a_{1} = 2$ ，写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式（不必证明）；

(2)、若 $a_{1} > 0$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$ 的值；问 ${a_{n}}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(3)、证明： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $⋯$ ， $a_{n}$ ， $⋯$ 成等差数列的充要条件是 $a_{1} = 1$ .

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28. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $m (m > 1)$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，证明： $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上有最大值的充要条件是 $1 < m < 8$ .

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29. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + \ln (x + 1) - \cos x$ ，则是否存在实数 $a$ ，使得函数 $g (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极小值？若存在，求出 $a$ 值；若不存在，说明理由.

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30. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{4}{x + 1}$ ， $g (x) = - 2 a b \cdot e^{x - 1} + b (x + 1) \ln x - 2 a + 2 b + 2$ ，其中 $a \in R$ ，且 $a > 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $x \in (0 ， 1]$ 上的最大值；

(2)、若 $g (x) \leq 0$ 对任意的 $b \in [a ， + \infty)$ 及 $x \in (0 ， 1]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
注： $e$ 是自然对数的底数．

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31. 已知 $L \in N^{*}$ ，数列 $A : a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}$ 中的项均为不大于 $L$ 的正整数. $c_{k}$ 表示 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中 $k$ 的个数 $(k = 1 ， 2 ， \dots ， L)$ .定义变换 $T$ ， $T$ 将数列 $A$ 变成数列 $T (A)$ $: t (a_{1}), t (a_{2}), \dots, t (a_{n})$ 其中 $t (k) = L \cdot \frac{c_{1} + c_{2} + \dots + c_{k}}{n}$ .
（Ⅰ）若 $L = 4$ ，对数列 $A ： 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 3 ， 4$ ，写出 $c_{i}$ $(1 \leq i \leq 4)$ 的值；

（Ⅱ）已知对任意的 $k (k = 1, 2, \dots, n)$ ，存在 $A$ 中的项 $a_{m}$ ，使得 $a_{m} = k$ .求证： $t （ a_{i} ） = a_{i}$ $x \neq 0$ 的充分必要条件为 $c_{i} = c_{j} (i ， j = 1 ， 2 ， \dots ， L) ；$

（Ⅲ）若 $l = n$ ，对于数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，令 $T (T (A)) : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ，求证： $b_{i} = t (a_{i})$ $(i = 1, 2, \dots, n) .$

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32. 已知p：x²-(3+a)x+3a＜0，其中a＜3；q：x²+4x-5＞0．

(1)、若p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

(2)、若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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33. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + x - a$ （ $a \in R$ ， $x \in R$ ）， $f (x) = a x^{3} + x - a，$ $g (x) = \frac{x}{1 - x^{3}}$ （ $x \in R$ ）.

(1)、如果 $x = \frac{- \sqrt[3]{4}}{2}$ 是关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、判断 $g (x)$ 在 $(\begin{matrix} - 1 ， & \frac{- \sqrt[3]{4}}{2} \end{matrix}]$ 和 $[\begin{matrix} \frac{- \sqrt[3]{4}}{2} ， & 1 \end{matrix})$ 的单调性，并说明理由；

(3)、证明：函数 $f (x)$ 存在零点q ，使得 $a = q + q^{4} + q^{7} + \dots + q^{3 n - 2} + \dots$ 成立的充要条件是 $a \geq \frac{- \sqrt[3]{4}}{3}$ ．

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34. 已知m≠0，向量 $\vec{a}$ =（m，3m），向量 $\vec{b}$ =（m+1，6），集合A={x|（x﹣m²）（x+m﹣2）=0}．

(1)、判断“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”是“| $\vec{a}$ |= $\sqrt{10}$ ”的什么条件

(2)、设命题p：若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则m=﹣19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m=1，判断p∨q，p∧q，￢q的真假，并说明理由．

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35. 已知无穷数列 ${a_{n}} (a_{n} \in Z)$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，…， $S_{n}$ 中奇数的个数为 $b_{n}$ ．
(Ⅰ)若 $a_{n}$ = n，请写出数列 ${b_{n}}$ 的前5项；
(Ⅱ)求证：" $a_{1}$ 为奇数， $a_{i}$ (i = 2，3，4，...）为偶数”是“数列 ${b_{n}}$ 是单调递增数列”的充分不必要条件；
(Ⅲ)若 $a_{i} = b_{i}$ ，i=1， 2， 3，…，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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