【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：命题的真假判断与应用

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 能说明“若f $(x) > f (0)$ 对任意的x $\in (0 ， 2]$ 都成立，则f $(x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上是增函数”为假命题的一个函数是

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2. 能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．

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3. 命题： $\exists x \in [1 ， 4]$ ， $x^{2} - (a^{2} - 4 a - 1) x + 4 < 0$ 的否定为真命题，则实数a的最大值为.

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4. 命题“ $a x^{2} - 2 a x - 3 > 0$ 不成立”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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5. 已知“ $\exists x_{0} \in R$ ， $a x_{0}^{2} + 1 < 0$ ”为假命题，则实数a的取值范围是.

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6. 若“ $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - 2 x_{0} - a < 0$ ”为真命题，则实数a的取值范围是．

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7. 已知命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} - a x + 1 < 0$ ，若命题 $p$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为．

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8. 请写出能够说明“存在两个不相等的正数 $a ， b$ ，使得 $a - b = 2 a b$ ”是真命题的一组有序数对： $(a ， b)$ 为.（答案不唯一）

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9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，则有如下四个命题：
① $f (x)$ 是奇函数；
② $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ ；
③ $f (x)$ 的一个对称中心是 $(- 2 π ， 0)$ ；
④ $f (x)$ 的一个递增区间是 $(2 ， 3)$ .
其中所有正确命题的序号是.

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10. 若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 a x + 1 \leq 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是．

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11. 已知∃x∈R，使得x²﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是.

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12. 已知命题 $p ： \exists x \in (0 ， 3) ， x^{2} - a - 2 l n x \leq 0$ .若 $p$ 为假命题，则 $a$ 的取值范围为.

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二、选择题

13. 在平面上，若曲线 $Γ$ 具有如下性质：存在点 $M$ ，使得对于任意点 $P \in Γ$ ，都有 $Q \in Γ$ 使得 $| P M | \cdot | Q M | = 1$ .则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（）.

(1)、所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.

A、(1)假命题；(2)真命题 B、(1)真命题；(2)假命题 C、(1)真命题；(2)真命题 D、(1)假命题；(2)假命题

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14. 已知命题p： $\exists$ x∈R，sinx＜1；命题q： $\forall$ x∈R， e^|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）

A、p $\land$ q B、 $\neg$ p $\land$ q C、p $\land \neg$ q D、 $\neg$ (pVq)

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15. 下列四个命题中为真命题的是（）

A、若随机变量 $ξ$ 服从二项分布 $B (4 ， \frac{1}{4})$ ，则 $E (ξ) = 1$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ C、已知一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， ⋯ ， x_{10}$ 的方差是3，则 $x_{1} + 2 ， x_{2} + 2 ， x_{3} + 2 ， ⋯ ， x_{10} + 2$ 的方差也是3 D、对具有线性相关关系的变量 $x ， y$ ，其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m ， 2.8)$ ，则实数 $m$ 的值是4

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16. 已知函数 $P (C) = \frac{3}{5}$ ，其导函数为 $y = f^{^{'}} (x)$ ，有以下两个命题：
①若 $y = f^{^{'}} (x)$ 为偶函数，则 $y = f (x)$ 为奇函数；
②若 $y = f^{^{'}} (x)$ 为周期函数，则 $y = f (x)$ 也为周期函数．
那么（）．

A、①是真命题，②是假命题 B、①是假命题，②是真命题 C、①、②都是真命题 D、①、②都是假命题

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17. 已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，以 $A_{1}$ 为圆心， $A_{1} A$ 为半径作圆弧 $A B_{1} ， E$ 为圆弧 $A B_{1}$ 的三等分点（靠近点 $A$ ），则下列命题正确的是（）

A、 $C_{1} E = \sqrt{2}$ B、四棱锥 $E - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积为 $2 + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{7}}{4}$ C、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} E$ 的外接球的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{15} π$ D、若 $F$ 为 $A_{1} A$ 上的动点，则 $D_{1} F + E F$ 的最小值为 $\sqrt{3}$

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18. 下列命题中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、在锐角 $△ A B C$ 中，不等式 $s i n A > c o s B$ 恒成立 C、在 $△ A B C$ 中，若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 必是等腰直角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $B = 30 °$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 不是等边三角形

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19. 下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ D、若 $| a | > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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20. 宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数 $f (x)$ ，若存在圆C，使得 $f (x)$ 的图象能将圆C的周长和面积同时平分，则称 $f (x)$ 是圆C的太极函数．下列说法正确的是（）
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个② $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (2^{x} + 1) + \frac{1}{2} x$ 是 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C， $f (x) = s i n x + c o s x$ 是它的太极函数

A、①④ B、③④ C、①③ D、②③

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 (x \geq 0) ， g (x) = a e^{- x} (a > 0)$ ，点 $P ， Q$ 分別在函数 $y = f (x)$ 的 $y = g (x)$ 的图像上， $O$ 为坐标原点，则下列命题正确的是（）

A、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - g (x) = 0$ 在 $[0 ， 1]$ 上无解，则 $a > 3 e$ B、存在 $P ， Q$ 关于直线 $y = x$ 对称 C、若存在 $P ， Q$ 关于 $y$ 轴对称，则 $0 < a \leq 2$ D、若存在 $P ， Q$ 满足 $∠ P O Q = 9 0^{∘}$ ，则 $0 < a \leq \frac{1}{2 \sqrt{2} e}$

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22. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积 $.$ ”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]} .$ 现有 $ΔABC$ 满足 $sin A ： sin B ： sin C = 2 ： 3 ： \sqrt{7}$ ，且 $ΔABC$ 的面积 $S_{Δ} = 6 \sqrt{3}$ ，请运用上述公式判断下列命题正确的是（　　　）

A、 $ΔABC$ 周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ B、 $ΔABC$ 三个内角 $A$ ， $C$ ， $B$ 成等差数列 C、 $ΔABC$ 外接圆直径为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $ΔABC$ 中线 $CD$ 的长为 $3 \sqrt{2}$

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三、解答题

23. 已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．

(1)、将函数g（x）=x³﹣3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；

(2)、求函数h（x）= $\log_{2} \frac{2 x}{4 - x}$ 图象对称中心的坐标；

(3)、已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．

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24. 已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} - a x - 1 ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若命题“ $\forall x \in R$ ，不等式 $f (x) < 0$ 恒成立”是假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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25. 已知集合 $A = {x | - 2 x^{2} + x + 3 \geq 0}$ ， $B = {x | (a - 1) x^{2} - a^{2} x \leq 0}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，判断命题 $p$ ： $\forall x \in A ， x \in B$ 的真假，并说明理由；

(2)、若 $a > 1$ 时， $B = [m ， n]$ ，求 $n - m$ 的最小值．

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26. 命题 $p ： \exists x \in R$ ， $t x^{2} + 3 x + 2 < 0$ ，命题q：函数 $f (x) = l g (t x^{2} + t x + 4)$ 的定义域为R．

(1)、若命题q为真命题，求实数t的取值范围；

(2)、若命题p为真命题，且命题q为假命题，求实数t的取值范围．

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27. 已知 $p$ ：对于 $\forall x \in R ， x^{2} + a x + a > 0$ 成立； $q$ ：关于 $a$ 的不等式 $a^{2} - (2 + b) a + 2 b \leq 0 (b > 2)$ 成立.

(1)、若 $p$ 为真命题，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求 $b$ 的取值范围.

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28. 已知 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ ，

(1)、求证： $f (x)$ 是偶函数；

(2)、若命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + k x + 2 \geq f (0) + f (2) + f (\frac{1}{2}) + f (3) + f (\frac{1}{3}) \dots + f (50) + f (\frac{1}{50})$ ”是真命题，求实数 $k$ 的取值范围.

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29. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ，且 $B ≠ ∅$ ．

(1)、若命题 $p$ ：“ $\forall x \in B$ ， $x ∈ A$ ”是真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $q$ ：“ $\exists x \in A$ ， $x ∈ B$ ”是真命题，求实数 $m$ 的取值范围。

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30. 命题 $p ：$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + x + m = 0$ 有两个相异负根；命题 $q ： \exists x \in R ， x^{2} - 3 m x + 9 < 0$ .

(1)、若命题 $q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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31. 已知命题p：实数x满足 $\frac{2 x + 1}{x - 2} \geq 1$ ，命题q：实数x满足 $x^{2} - (2 m + 1) x + m (m + 1) \geq 0$ .

(1)、求命题p为真命题，求实数x的取值范围；

(2)、若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

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32. 已知集合 $A = {x | x^{2} + (2 a - 2) x + a^{2} - 2 a \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ．

(1)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p ： \exists x \in B$ ， $x^{2} + (m + 1) x + m^{2} - m > 11$ ，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．

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33. 设命题 $p$ ：存在 $x \in [0 ， 2]$ ，不等式 $2 x - 7 \geq m^{2} - 4 m$ 成立；命题 $q$ ：对任意 $x \in [- 2 ， 2]$ ，不等式 $x^{2} - m x - 8 < 0$ 恒成立．

(1)、若 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p ， q$ 有且只有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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