【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：存在量词命题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知命题p： $\exists$ x∈R，sinx＜1；命题q： $\forall$ x∈R， e^|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）

A、p $\land$ q B、 $\neg$ p $\land$ q C、p $\land \neg$ q D、 $\neg$ (pVq)

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2. 下列命题中，真命题是（）

A、∃x₀∈R， $e^{x_{0}}$ ≤0 B、∀x∈R，2^x＞x² C、a+b=0的充要条件是 $\frac{a}{b}$ =﹣1 D、a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

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3. 下列是存在量词命题且是假命题的是（）

A、 $\exists x \in Z ， x^{2} > 2$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} > 0$ C、 $\exists x ， y \in R ， x^{2} + y^{2} < 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} \in N$

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4. 下列命题是真命题的有（）

A、命题“ $\exists x \in R ， 1 < y \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R ， y \leq 1$ 或 $y > 2$ ” B、“至少有一个x使 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 成立”是全称量词命题 C、“ $\exists x \in R$ ， $x - 2 > \sqrt{x}$ ”是真命题 D、“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定是真命题

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5. 命题“∃x∈R，x²+2021x+2022<0”的否定为(　　)

A、∀x∈R，x²+2021x+2022<0 B、∀x∈R，x²+2021x+2022≤0 C、∀x∈R，x²+2021x+2022≥0 D、∃x∈R，x²+2021x+2022≥0

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6. 命题“ $\exists x \geq e$ ， $x^{2} - \ln x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x < e$ ， $x^{2} - \ln x + 1 < 0$ B、 $\forall x \geq e$ ， $x^{2} - \ln x + 1 < 0$ C、 $\exists x \geq e$ ， $x^{2} - \ln x + 1 < 0$ D、 $\forall x < e$ ， $x^{2} - \ln x + 1 < 0$

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7. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 5 > 0$ ，则（）

A、 $p$ 为全称量词命题 B、 $p$ 为存在量词命题 C、 $p$ 为真命题 D、 $p$ 的否定是“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 5 \leq 0$ ”

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8. 下列命题为真命题的是（）

A、设a， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的既不充分也不必要条件 B、“ $a c < 0$ ”是“二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一正根和一负根”的充要条件 C、当 $a c > 0 > b$ 时， $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + b x + c > 0$ 成立 D、 $\exists x$ ， $y \in R$ ，使 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 5 = 0$ 成立

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9. 以下给出了4个命题：
（1） $\forall x \in$ $R$ ， $x + 3 > 0$ ；
（2） $\exists x \in$ $R$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ ；
（3）若奇函数 $g (x)$ 在 $[- 2 ， - 1]$ 上单调递增，则它在 $[1 ， 2]$ 上单调递减；
（4）若偶函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上单调递增，则它在 $[- 3 ， - 1]$ 上单调递减；
其中真命题的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 下列结论中不正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题：
②命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$ ”是全称量词命题；
③命题 $p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ ，则 $\neg p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 下列命题中为真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $| x | > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $| x | < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$

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12. 若“ $\forall x \in M$ ， $2 - x < 0$ ”为真命题，“ $\exists x \in M$ ， $x^{2} - 4 x > 0$ ”为假命题，则集合 $M$ 可以是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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二、填空题

13. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ₁（x）=x³ ， φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）

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14. 已知命题 $p ： \exists x > 0$ ，使得 $3 x^{2} + 2 x - 5 < 0$ ，则 $\neg p$ 为

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15. 命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ，使 $x_{0}^{2} - (a + 1) x_{0} + 9 < 0$ ”是假命题，则实数a的取值的集合为．

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16. $\exists x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} > 2$ 的否定是．

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17. 命题“ $\exists x \in R ， | x | + \sqrt{x} \geq 0$ ”的否定是.

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18. 已知存在实数 $x ， y \in (0 ， 1)$ ，使得不等式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} < 2^{y^{2} - y} + t$ 成立，则实数t的取值范围是．

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19. 选择适当的符号“ $\forall$ ”､“ $\exists$ ”表示下列命题：有一个实数x，使 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ ：.

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20. $\exists x \in R$ ，使得不等式 $3 x^{2} - x + 1 < m$ 成立，则m的取值范围是.

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21. 若“ $\exists x \in$ R， $x^{2} + 2 x - a < 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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22. 已知命题p： $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 a x + 1 \leq 0$ ，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是．

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23. 已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $2^{x_{0}} = l o g_{2} x_{0}$ ，则 $\neg p$ 为.

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三、解答题

24. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $m ， n \in [- 1 ， 1]$ ， $m + n \neq 0$ 时，有 $\frac{f (m) + f (n)}{m + n} > 0$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上是增函数；

(2)、解不等式 $f (x^{2} - 1) + f (1 - x) < 0$ ；

(3)、若存在实数 $x$ 使得 $f (x) \leq t^{2} - 5 t + 3$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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25. 已知集合 $A = {x | y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a x + a}}} ， B = {x | \frac{4}{x - 2} \geq 1}$ ．

(1)、若 $A = R$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若命题p：“ $\exists x \in A ， x \in B$ ”是假命题，求实数a的取值范围．

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26. 已知函数 $g (\sqrt{x} + 2) = x + 2 \sqrt{x} + 1$

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $f (x) = \frac{g (x) - 2 x}{x}$ ，若存在 $x \in [2 ， 3]$ 使 $f (x) - k x \leq 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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27. 已知命题 $p$ ：“ $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $x^{2} - a \geq 0$ ”，命题 $q$ ：“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + 2 - a = 0$ ”，若“ $p$ 且 $q$ ”为真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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28. 用量词符号“ $\forall$ ”“ $\exists$ ”表述下列命题，并判断真假.

(1)、对所有实数a，b，方程 $a x + b = 0$ 恰有一个解；

(2)、一定有整数x，y，使得 $3 x - 2 y = 10$ 成立；

(3)、所有的有理数x都能使 $\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1$ 是有理数

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29. 已知函数f（x）=2^2x﹣ $\frac{5}{2}$ •2^x⁺¹﹣6

(1)、当x∈[0，4]时，求f（x）的最大值和最小值；

(2)、若∃x∈[0，4]，使f（x）+12﹣a•2^x≥0成立，求实数a的取值范围．

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30. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：

(1)、p：对任意的x∈R，x²+x+1=0都成立；

(2)、p：∃x∈R，x²+2x+5＞0．

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31. 判断下列命题的真假．

(1)、∀x∈R，|x|＞0；

(2)、∀a∈R，函数y=log_ax是单调函数；

(3)、∀x∈R，x²＞﹣1；

(4)、∃ $\vec{a}$ ∈{向量}，使 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =0；

(5)、∃x＞0，y＞0，使x²+y²=0．

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32. （Ⅰ）命题“ $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - 3 a x_{0} + 9 < 0$ ”为假命题，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若“x²+2x﹣8＜0”是“x﹣m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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33. 判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x²﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0．

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