【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：全称量词命题

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知命题p： $\exists$ x∈R，sinx＜1；命题q： $\forall$ x∈R， e^|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）

A、p $\land$ q B、 $\neg$ p $\land$ q C、p $\land \neg$ q D、 $\neg$ (pVq)

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2. 命题“对任意x∈R，都有x²≥0”的否定为（）

A、对任意x∈R，都有x²＜0 B、不存在x∈R，都有x²＜0 C、存在x₀∈R，使得x₀²≥0 D、存在x₀∈R，使得x₀²＜0

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3. 已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则 $\neg p$ 为（）

A、任意一个无理数，它的平方不是有理数 B、存在一个无理数，它的平方不是有理数 C、任意一个无理数，它的平方是有理数 D、存在一个无理数，它的平方是无理数

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4. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in C_{R} Q \end{array}$ 被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，以下命题正确的个数是
下面给出关于狄利克雷函数f(x)的五个结论：
①对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1；
②函数f(x)偶函数；
③函数f(x)的值域是{0，1}；
④若T≠0且T为有理数，则f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立；
⑤在f(x)图象上存在不同的三个点A，B，C，使得△ABC为等边角形.

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 是有理数 \\ 0 ， x 是无理数 \end{array}$ ，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数 $D (x)$ 有以下四个命题，其中真命题是（）

A、函数 $D (x)$ 是奇函数 B、 $\exists x ， y \in R$ ， $D (x y) = D (x) + D (y)$ C、函数 $D (D (x))$ 是偶函数 D、 $\forall x \in R$ ， $a \in Q$ ， $D (a + x) = D (a - x)$

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6. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $l o g_{3} a + l o g_{b} 3 = l o g_{3} b + l o g_{a} 4$ ，则下列关系式可能正确的是（）

A、 $\exists a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，使 $| a - b | > 1$ B、 $\exists a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，使 $a b = 1$ C、 $\forall a ， b \in (1 ， + \infty)$ ，有 $b < a < b^{2}$ D、 $\forall a ， b \in (0 ， 1)$ ，有 $b^{2} < a < b$

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7. 已知符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1 ， & x > 0 \\ 0 ， & x = 0 \\ - 1 ， & x < 0 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = s g n (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、对任意 $x \in R ， s g n (e^{x}) = 1$ C、对任意的 $x \in R ， | x | = - x s g n (- x)$ D、函数 $y = x s g n (- l n x)$ 的值域为 ${y ∣ y < - 1$ 或 $0 \leq y < 1}$

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8. 关于命题“ $\exists x \in N$ ， $x^{2} + 2 x = 0$ ”，下列判断正确的是（）

A、该命题是全称量词命题，且是真命题 B、该命题是存在量词命题，且是真命题 C、该命题是全称量词命题，且是假命题 D、该命题是存在量词命题，且是假命题

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9. 取整函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过x的最大整数，例如： $f (1.2) = 1$ ， $f (- 0.9) = - 1$ ，则（）

A、 $\exists x \in R$ ， $f (2 x) > 2 f (x)$ B、 $\forall x \in R$ ， $x < f (x) + 1$ C、 $\exists x$ ， $y \in R$ ， $f (x) + f (y) > f (x + y)$ D、 $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (x + 0.5) = f (2 x)$

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10. 命题“ $\forall x \in R$ ， $f (x) g (x) \neq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = 0$ 且 $g (x) = 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = 0$ 或 $g (x) = 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) = 0$ 且 $g (x_{0}) = 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) = 0$ 或 $g (x_{0}) = 0$

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二、填空题

11. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ₁（x）=x³ ， φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）

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12. 已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2^x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是

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13. 已知命题p：对 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + a \geq 0$ ，若p为真命题，则实数a的最小值是．

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14. 已知方程 $l o g_{2} x + l o g_{2} y = l o g_{2} (x + y)$ ，以下说法正确的是.
（1）此方程中 $x$ ， $y$ 的取值范围都是 $(0 ， + ∞)$ ；
（2）此方程所对应图像关于 $y = x$ 对称；
（3） $\exists m > 1$ ，对 $\forall x \in (m ， + \infty)$ ，存在 $M \in R$ ，使 $y < M$ .

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15. 已知命题p：“ $\exists x \in R$ ， $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} \geq 0$ ”是假命题，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 已知命题p： $\exists x \in R ， x^{2} - a x + a < 0$ ，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是．

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17. 狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，则称 $f (x)$ 为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数 $f (x)$ ，给出下面4个命题：其中真命题的有
①．对任意 $x \in R$ ，都有 $f [f (x)] = 1$
②．对任意 $x \in R$ ，都有 $f (- x) + f (x) = 0$
③．对任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in Q$ ， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1})$
④．若 $a < 0$ ， $b > 1$ ，则有 ${x | f (x) > a} = {x | f (x) < b}$

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18. 命题“ $\forall 1 \leq x \leq 2$ ，使 $x^{2} - a \geq 0$ ”是真命题，则 $a$ 的取值范围是．

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19. 命题“ $\exists x > 0$ ， $\sqrt{x^{2}} > 0$ ”的否定是．

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20. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ”的否定为.

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21. 根据事实： $1 = 1$ ， $1 + 3 = 2^{2}$ ， $1 + 3 + 5 = 3^{2}$ ， $1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$ ，……，写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题为，该命题的否定为.

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22. 设有下列四个命题：
$p_{1}$ ： $\forall x \in R$ ， $e^{x} - 1 \geq x$ ； $p_{2}$ ： $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} \leq x_{0} - 1$ ；

$p_{3}$ ：方程 $x^{2} - 2 a x - 3 = 0$ 有两个不相等实根； $p_{4}$ ：函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{\sin x}$ 的最小值是2．

则下述命题中所有真命题的序号是．

① $p_{1} \land p_{2}$ ；② $p_{1} \land \neg p_{4}$ ；③ $\neg p_{2} \lor p_{4}$ ；④ $\neg p_{3} \lor \neg p_{4}$ ．

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三、解答题

23. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、若“命题 $p$ ： $\forall x \in B$ ， $x ∈ A$ ”是真命题，求 $m$ 的取值范围.

(2)、“命题 $q$ ： $\exists x \in A$ ， $x ∈ B$ ”是假命题，求 $m$ 的取值范围.

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24. 已知命题p： $\forall x \in {x | 1 \leq x \leq 2}$ ， $a \geq 1 + x$ ， q： $\exists x \in R ， 2 x^{2} + 5 x + a = 0$ ，若p的否定是假命题，且q是真命题，求实数a的取值范围．

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25. 在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如：若 $x > 1$ ，则 $2 x + 1 \geq 5$ ；（假命题）.这个命题是省略了量词的全称量词命题.

(1)、有人认为命题“若 $x > 1$ ，则 $2 x + 1 \geq 5$ ”的否定是“若 $x > 1$ ，则 $2 x + 1 < 5$ ”，你认为对吗？如果不对，请你用含量词的符号语言表示这个命题，并正确写出这个命题的否定；

(2)、求a的取值范围，使“若 $x > 1$ ，则 $x^{2} - a x + a + 3 \geq 0$ ”是真命题.

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26. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．

(1)、存在实数x，使得 $x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$ ；

(2)、有些三角形是等边三角形；

(3)、方程 $x^{2} - 8 x - 10 = 0$ 的每一个根都不是奇数．

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27. 已知 $a \in R$ ，命题 $p$ ：“ $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $x^{2} - a \geq 0$ ”，命题 $q$ ：“ $\exists x \in R ， x^{2} + 2 a x + 2 - a = 0$ ”.

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题“ $p \lor q$ ”为真命题，命题“ $p \land q$ ”为假命题，求实数a的取值范围.

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28. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} - m \geq 0$ 是假命题.

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $B$ ；

(2)、设不等式 $(x - 3 a) (x - a - 2) < 0$ 的解集为 $A$ .若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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29. 已知命题 $p ： \forall x \in [1 ， 3] ， x^{2} + 2 x - a ⩾ 0$ ；命题 $q ： \exists x \in R ， x^{2} + a x + a + 3 = 0$ .

(1)、若命题p为真命题，求a的取值范围；

(2)、若命题p ， q一真一假，求a的取值范围.

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30. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明.

(1)、存在实数x，使得x²+2x+3＞0；

(2)、菱形都是正方形；

(3)、方程x²﹣8x+12＝0有一个根是奇数.

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31. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.

(1)、命题 $p$ ：有一对实数 $(x ， y)$ ，使 $x - 3 y + 1 < 0$ .

(2)、命题 $q ： \forall x \in R ， x^{2} - 4 x + 3 > 0$ .

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32. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + a \geq 0$ ，命题 $q ： \exists x \in R$ ，使 $x^{2} + (2 + a) x + 1 = 0$ .若命题“ $p \lor q$ ”为真命题“ $p \land q$ ”为假命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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