【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：复合命题的真假

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知命题p：∃x∈R，x²﹣x+1≥0．命题q：若a²＜b² ，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）

A、p∧q B、p∧￢q C、￢p∧q D、￢p∧￢q

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2. 已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a²＞b² ，下列命题为真命题的是（　　）

A、p∧q B、p∧￢q C、￢p∧q D、￢p∧￢q

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3. 短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若 $p \lor q$ 是真命题， $p \land q$ 是假命题， $(\neg q) \land r$ 是真命题，则选拔赛的结果为（）

A、甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B、甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名 C、甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D、甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名

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4. 给定下列四个命题：
命题①： $a > b ， c > d \Rightarrow a - c > b - d$ ；命题②： $a > b \Rightarrow {(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$ ；
命题③： ${\begin{array}{l} 0 < a < 1 \\ 2 < b < 3 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} 2 < a + b < 4 \\ 0 < a b < 3 \end{array}$ ；命题④： $a < b < 0 \Rightarrow \frac{b}{a} < \frac{a}{b}$ .
其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知命题 $p$ ：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题 $q$ ：空间中三个平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α ∩ β = l$ ，则 $l ⊥ γ$ ．则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land \neg q$ C、 $p \lor \neg q$ D、 $\neg p \land q$

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6. 下列命题正确的是（）

A、“ $\exists x \in R$ ， $l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1) > 0$ ”的否定为假命题 B、若“ $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ”为真命题，则 $a \leq 4$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 3 b + a b = 9$ ，则 $a + 3 b \geq 6$ D、 $a + b = 0$ 的必要不充分条件是 $\frac{a}{b} = - 1$

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7. 设命题p：将函数 $y = cos2x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位得到函数 $y = cos (2x - \frac{π}{5})$ 的图象；命题q：若 $tanα = 2$ ，则 $\frac{{cos}^{2} α - 2 {sin}^{2} α}{sin2α} = - \frac{7}{4}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \lor (￢ q)$ C、 $(￢ p) \land q$ D、 $(￢ p) \land (￢ q)$

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8. 关于某校运动会 $5000$ 米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题 $p$ ；“乙得第二”为命题 $q$ ；“丙得第三”为命题 $r$ .若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题， $(\neg p) \land r$ 为假命题，则下列说法一定正确的为（）

A、甲不是第一 B、乙不是第二 C、丙不是第三 D、根据题设能确定甲、乙、丙的顺序

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9. 已知命题 $p$ ：任意 $x \in [1 ， 2] ， x^{2} - a ⩾ 0$ ，命题 $q$ ：存在 $x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + 2 - a = 0$ ，若“ $p$ 且 $q$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a ⩽ - 2$ B、 $a \leq 1$ C、 $a ⩽ - 2$ 或 $a = 1$ D、 $a > - 2$ 且 $a \neq 1$

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10. 已知命题p：离心率越小，椭圆的形状越扁；命题q：在区间 $(0 ， 1)$ 随机取1个数，则取到的数小于0.6的概率为0.6，则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \land q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $- (p \lor q)$

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11. 已知命题 $p$ ：离心率越小，椭圆的形状越扁，命题 $q$ ：离心率越大，双曲线的“张口”越小，则下列命题为真命题的是（）

A、 $(\neg p) \land q$ B、 $(\neg p) \lor q$ C、 $p \lor q$ D、 $p \land q$

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12. 已知集合 $A = {x | x \geq 0}$ ，集合 $B = {x | x > 1}$ ，则以下命题为真命题的是（）

A、 $\exists x \in A$ ， $x ∈ B$ B、 $\exists x \in B$ ， $x \notin A$ C、 $\forall x \in A$ ， $x ∈ B$ D、 $\forall x \in B$ ， $x \notin A$

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二、填空题

13. 设有下列四个命题：
p₁：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p₂：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p₃：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p₄：若直线l $\subset$ 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是.

① $p_{1} \land p_{4}$ ② $p_{1} \land p_{2}$ ③ $\neg p_{2} \lor p_{3}$ ④ $\neg p_{3} \lor \neg p_{4}$

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14. 已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m：②m∥α：③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：。

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15. 已知命题p： $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ， $x^{2} - 3 x + a > 0$ .若命题 $\neg p$ 为真命题，则实数a的最大值是.

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16. 关于函数 $f (x) = s i n x - x c o s x$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 是奇函数；
②0是 $f (x)$ 的极值点；
③ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上有且仅有1个零点；
④ $f (x)$ 的值域是 $R$ .
其中，所有正确结论的序号为.

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17. 已知命题p： $\forall x \in [1 ， 2] ， x^{2} + 1 \geq a$ ，命题q： $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $2 x + a - 1 > 0$ 成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 .

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18. 已知命题p：若 $x^{2} < y^{2}$ ，则 $x < y$ ；命题 $q ： \forall x \in R$ ，直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 恒有两个公共点.在命题①q；② $p \lor (\neg q)$ ；③ $(\neg p) \land q$ 中，所有真命题的序号是.

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19. 已知命题“ $\exists x \in R$ ，使 $4 x^{2} + x + \frac{1}{4} (a - 2) \leq 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是.

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20. 记不等式组 ${\begin{array}{l} x + y ⩾ 6 \\ 2 x - y \geq 0 \end{array}$ 表示的平面区域为 $D$ ，命题 $p ： \exists (x ， y) \in D ， 2 x + y ⩾ 9$ ；命题 $q ： \forall (x ， y) \in D ， 2 x + y ⩽ 12$ .给出了四个命题：① $p \lor q$ ；② $\neg p \lor q$ ；③ $p \land \neg q$ ；④ $\neg p \land \neg q$ ，这四个命题中，所有真命题的编号是

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21. 设有下列四个命题：
$p_{1} ：$ 空间共点的三条直线不一定在同一平面内.

$p_{2} ：$ 过空间中任意三点有且仅有一个平面.

$p_{3} ：$ 若三个平面两两相交，则交线互相平行.

$p_{4} ：$ 若直线 $a ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $a //$ 直线 $b$ ，则直线 $b ⊥$ 平面 $α$ .

则下述命题中所有真命题的序号是.

① $p_{1} \land p_{4}$ ② $p_{1} \land p_{2}$ ③ $\neg p_{2} \lor p_{3}$ ④ $\neg p_{3} \lor p_{4}$

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22. 为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲､乙､丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若 $p \lor q$ 是真命题， $(\neg q) \lor r$ 是真命题，则得第一名的是.

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23. 设有下列四个命题：
$p_{1}$ ：空间中两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线必相交于一点．

$p_{2}$ ：过空间中任意一点作已知平面的垂线，则所作的垂线有且仅有一条．

$p_{3}$ ：若空间两条直线不相交，则这两条直线互为异面直线．

$p_{4}$ ：若直线 $l \subset$ 平面 $α$ ，直线 $m //$ 平面 $α$ ，则直线 $m$ 与直线 $l$ 一定不相交．

则下述命题中所有真命题的序号是．

① $p_{1} \lor p_{4}$ ；② $(\neg p_{1}) \land p_{2}$ ；③ $p_{2} \land (\neg p_{3})$ ；④ $(\neg p_{3}) \land (\neg p_{4})$ ．

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24. 若“ $\exists x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使得 $2 x^{2} - λ x - 1 < 0$ 成立”是假命题，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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三、解答题

25. 已知命题 $p ： \forall x \in {x | 0 \leq x \leq 4}$ ， $0 \leq x < 2 a$ ，命题 $q ： \exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + a < 0$ .

(1)、若命题 $\neg p$ 和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.

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26. 已知 $p$ ： $x^{2} - a x + 4 > 0$ 在 $R$ 上恒成立； $q$ ：存在 $θ$ 使得 $a + 2 \leq s i n θ$ ； $r$ ：存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $3^{x_{0}} + a = 0$ .

(1)、若 $p$ 且 $q$ 是真命题，求实数 $a$ 的范围；

(2)、若 $p$ 或 $r$ 是真命题， $p$ 且 $r$ 是假命题，求实数 $a$ 的范围.

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27. 设 $a \in R$ ，命题 $p ： \exists x \in [- 1 ， 3]$ ，满足 $(a - 3) x - 1 > 0$ ，命题 $q ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 4 > 0$ .

(1)、若命题p，q都是真命题，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若p和q中有且仅有一个为真命题，求a的取值范围.

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28. 已知集合 $A = {x | x - \sqrt{x} - 2 < 0}$ ， $B = {x | a + 1 < x < 2 a - 1}$ ．

(1)、若 $\forall x \in A$ ，均有 $x \notin B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $\emptyset ⫋ B$ ，设 $p ： \exists x \in B$ ， $x \notin A$ ，求证： $a > \frac{5}{2}$ 是 $p$ 成立的必要条件．

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29. 已知 $p ： \frac{2 x - 7}{x - 5} < 1$ ， $q ： x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} < 0$ 其中 $m > 0$ ．

(1)、若 $m = 3$ ，且 $p$ ， $q$ 都是真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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30. 已知 $a \in R$ ，命题p： $\forall x \in [- 2 ， - 1]$ ， $x^{2} - a \geq 0$ ，命题q： $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 a x - (a - 2) = 0$ ．

(1)、若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若命题p，q有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．

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31. 已知命题 $p$ ：函数 $f (x) = x^{2} - 2 k x + 36$ 的图像上的点均位于 $x$ 轴的上方；命题 $q$ ：函数 $g (x) = x^{3} - 3 k x$ 在 $(2 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、若 $p \land q$ 为真，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 是“ $k < m^{2}$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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32. 已知 $m \in R$ ，设 $p$ ： $\forall x \in [- 1 ， 1]$ ， $x^{2} - 2 x - m^{2} + 4 m - 2 \geq 0$ 成立； $q$ ： $\exists x \in [1 ， 2]$ ， $l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - m x + 1) < - 1$ 成立，如果“ $p \lor q$ ”为真，“ $p \land q$ ”为假，求实数 $m$ 的取值范围.

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