【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：充要条件

试卷更新日期：2023-08-16 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，则“ $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ”是“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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2. 设a ， b均为单位向量，则“ $| a - 3 b | = | 3 a + b |$ ”是“a $⊥ b$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）²=2i”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $a ， b \in R$ ，则 $a - b > 0$ 是 $a | a | - b | b | > 0$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{6}$ ，则“ $s i n A < \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $△ A B C$ 是钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 对于函数 $f (x)$ ， $x \in R$ ， “ $f (x) = 0$ ”是“ $f (x)$ 的图象既关于原点对称又关于 $y$ 轴对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $x \in R$ ，那么“ $x > 4$ ”是“ $2^{1 - x} < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 设 $a \in R ，$ 则“ $0 < a < 1$ ”是“ $a^{2} < a$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 下列说法正确的是（）

A、 $a c = b c$ 是 $a = b$ 的充分条件 B、 $x \geq 1$ 是 $x^{2} \geq 1$ 的必要条件 C、四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件 D、“ $1 < x < 3$ ”是“ $x \geq 0$ ” 的充分不必要条件

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10. 已知 $a ， b \in R$ 且 $a > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{b}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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11. 关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} m x + y = - 1, \\ 3 m x - m y = 2 m + 3, \end{array}$ 的系数行列式 $D = 0$ 是该方程组有解的（）．

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分且必要条件 D、既非充分也非必要条件

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12. 已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac²≥bc²”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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二、填空题

13. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ₁（x）=x³ ， φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 2^{n} - 1 (n \in N^{*})$ ，则， $a_{n} =$ .若存在n∈N^*使得 $a_{n} \leq \frac{n + 1}{n} \cdot λ$ 成立，则实数λ的最小值为

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15. ax²＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是．

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16. 在直角坐标系中，点 $(2 m + 3 - m^{2} ， \frac{2 m - 3}{2 - m})$ 在第四象限的充要条件是．

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17. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (k + 3 i) x + 4 + k = 0 (k \in R)$ 有实根的充要条件

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18. 有下列命题：
①“ $x > 2 且 y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ ”的充要条件；②“ $b^{2} - 4 a c < 0$ ”是“一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为R”的充要条件；③“ $a = 2$ ”是“直线 $a x + 2 y = 0$ 平行于直线 $x + y = 1$ ”的充分不必要条件；④“ $x y = 1$ ”是“ $lg x + lg y = 0$ ”的必要不充分条件.其中真命题的序号为.

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19. “ $\frac{1}{x} > 1$ ”是“ $e^{x - 1} < 1$ ”的条件(填“充分不必要” “必要不充分”， “充要条件”“ 既不充分也不必要”)

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20. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $| q | = \sqrt{2}$ ”是“ $S_{6} = 7 S_{2}$ ”的条件．

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21. 某健康中心研究认为：身高为h（m）的人的其理想体重W（kg），应符合公式W=22h²（kg），且定义体重在理想体重±10%的范围内，称为标准体重；超过10%但不超过20%者，称为微胖；超过20%者，称为肥胖，微胖及肥胖都是过重的现象．对身高h，体重W的人，体重过重的充要条件为W＞ch²+dh+e，则（c，d，e）= ．

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22. 直线y=x+b，b∈R与圆x²+y²+2x=0相切的充要条件是b∈ ．

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三、解答题

23. 已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n ， B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1 ， C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2 ， n=1，2，…．

(1)、若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^* ，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

(2)、证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^* ，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

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24. 设 $a ， b ， c ， d$ 均为正数，且 $a + b = c + d$ ，证明：
（Ⅰ）若 $a b > c d$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ ；

（Ⅱ） $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ 是 $| a - b | < | c - d |$ 的充要条件．

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25. 已知集合P＝{x|x²－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．

(1)、若(P∪S)⊆P，求实数m的取值范围；

(2)、是否存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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26. 从偶函数的定义出发，证明函数 $y = f (x)$ 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

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27. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形”的充要条件是“ $y = f (x)$ 为偶函数”.

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2 x - 1$ ，求 $f (x)$ 的解析式，并求不等式 $f (x) > f (2 x - 1)$ 的解集；

(2)、某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称图形”的充要条件是“ $y = f (x + a)$ 为偶函数”.若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $x \geq 1$ 时， $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .
（i）求 $g (x)$ 的解析式；

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28. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形”的充要条件是“ $y = f (x)$ 为偶函数”.

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2 x - 1$ ，求 $f (x)$ 的解析式，并求不等式 $f (x) > f (2 x - 1)$ 的解集；

(2)、某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称图形”的充要条件是“ $y = f (x + a)$ 为偶函数”.若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $x \geq 1$ 时， $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .
（i）求 $g (x)$ 的解析式；

（ii）求不等式 $g (x) > g (3 x - 1)$ 的解集.

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29. △ $A B C$ 中，边 $B C$ 内上有一点 $D$ ，证明： $A D$ 是 $∠ A$ 的角平分线的充要条件是 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}$ ．

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30. 若存在实数 $λ \in (0, 1)$ 使得 $x = λ a + (1 - λ) b,$ 则称 $x$ 是区间 $(a, b) (a < b)$ 的 $λ$ 一内点．

(1)、求证： $x \in (a, b)$ 的充要条件是存在 $λ \in (0, 1),$ 使得 $x$ 是区间 $(a, b)$ 的 $λ$ 一内点；

(2)、若实数 $a 、 b$ 满足： $0 < a < b,$ 求证：存在 $λ \in (0, 1)$ ，使得 $\frac{a + b}{2}$ 是区间 $(\frac{2 a b}{a + b}, \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}})$ 的 $λ$ 一内点；

(3)、给定实数 $ω \in (0, 1)$ ，若对于任意区间 $(a, b) (a < b)$ ， $x_{1}$ 是区间的 $λ_{1}$ 一内点， $x_{2}$ 是区间的 $λ_{2}$ 一内点，且不等式 $x_{1}^{2} \leq ω a^{2} + (1 - ω) b^{2}$ 和不等式 $x_{2}^{2} \leq (1 - ω) a^{2} + ω b^{2}$ 对于任意 $a 、 b \in R$ 都恒成立，求证： $λ_{1} + λ_{2} = 1$

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31. 已知 $x, y$ 都是非零实数，且 $x > y$ ，求证： $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ 的充要条件是 $x y > 0$ .

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32. 设命题p：实数x满足x²－4ax＋3a²<0，其中a>0；命题q：实数x满足x²－5x＋6≤0.
（Ⅰ）若a＝1，且p、q均为真命题，求实数x的取值范围；

（Ⅱ）若 $\neg q$ 是 $\neg p$ 成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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33. 已知条件p： $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ ；条件q： $x^{2} - 6 x + 9 - m^{2} \leq 0$ ，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是什么？

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