【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：四种命题的真假关系

试卷更新日期：2023-08-15 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设命题 $p$ ： $\forall x \in Q$ ， $x^{2} + \sqrt{2} x \notin Q$ ，则以下描述正确的是（）

A、 $p$ 为假命题， $\neg p$ 是“ $\forall x \notin Q$ ， $x^{2} + \sqrt{2} x \in Q$ ” B、 $p$ 为假命题， $\neg p$ 是“ $\exists x \in Q$ ， $x^{2} + \sqrt{2} x \in Q$ ” C、 $p$ 为真命题， $\neg p$ 是“ $\forall x \notin Q$ ， $x^{2} + \sqrt{2} x \in Q$ ” D、 $p$ 为真命题， $\neg p$ 是“ $\exists x \in Q$ ， $x^{2} + \sqrt{2} x \in Q$ ”

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2. 给出下列四个命题：
①“若 $x_{0}$ 为 $y = f (x)$ 的极值点，则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ”的逆命题为真命题；②“平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角是钝角”的充分不必要条件是 $\vec{a} • \vec{b} < 0$ ③若命题 $p ： \frac{1}{x - 1} > 0$ ，则 $\neg p ： \frac{1}{x - 1} \leq 0$ ；④命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是：“ $\forall x \in R$ 均有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”.
其中不正确的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知命题 $p ： \frac{x + 3}{x - 1} > 0$ ，命题 $q ： - 3 < x \leq 2$ ，则 $\neg p$ 是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列有关命题的表述中，正确的是（）

A、命题“若 $a + b$ 是偶数，则 $a$ ， $b$ 都是偶数”的否命题是假命题 B、命题“若 $a$ 为正无理数，则 $\sqrt{a}$ 也是无理数”的逆命题是真命题 C、命题“若 $x = 2$ ，则 $x^{2} + x - 6 = 0$ ”的逆否命题为“若 $x^{2} + x - 6 \neq 0$ ，则 $x \neq 2$ ” D、若命题“ $p \land q$ ”，“ $p \lor (\neg q)$ ”均为假命题，则 $p$ ， $q$ 均为假命题

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5. 下列叙述中正确的是（）

A、若 $\forall x \in N^{*}$ ，则 ${(x - 1)}^{2} > 0$ B、若“ $x < y$ ，则 $x^{2} < y^{2}$ ”的逆否命题是真命题 C、“ $x^{2} > x$ ”是“ $x > 1$ ”的必要不充分条件 D、“ $\forall x > 0$ ，都有 $x^{2} - x - 3 < 0$ ”的否定是“ $\exists x < 0$ ，使得 $x^{2} - x - 3 ≥ 0$ ”

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6. 下列说法正确的是（）

A、“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 B、命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题 C、“∃x₀∈R， ${x_{0}}^{2} - x_{0} < 0$ ”的否定是“∀x∈R，x²－x>0” D、“ $a + 1 > b$ ”是“ $a > b$ ”的一个充分不必要条件

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7. 下列说法正确的是（）

A、“ $x = \frac{π}{4}$ ”是“ $\tan x = 1$ ”的充分不必要条件 B、若a、 $b \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ”是“a、b不全为0”的充要条件 C、命题“ $\forall x < 1$ ，都有 $| x | < 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \geq 1$ ，使得 $| x_{0} | \geq 1$ ” D、命题 $p ：$ “若 $a > b$ ，则 $a m^{2} > b m^{2}$ ”的否定是真命题

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8. 下列说法正确的是（）

A、“ $x > 0$ 且 $y > 0$ ”是“ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ ”的充要条件 B、方程 $x^{2} + (m - 3) x + m = 0$ 有一正一负根的充要条件是 $m \in {m | m < 0}$ C、命题“若 $\frac{1}{x - 1} > 1$ ，则 $1 < x < 2$ .”的逆否命题为真命题 D、命题 $p$ ：“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”，则非 $p$ ：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”

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9. 命题“若 $m > 4$ ，则方程， $\frac{x^{2}}{m - 1} - \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示双曲线”与它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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10. 下列有关命题的说法正确的是（）

A、命题“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x = 1$ ”的否命题为：“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x \neq 1$ ”． B、若 $p \lor q$ 为真命题，则 $p ， q$ 均为真命题. C、命题“存在 $x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ” 的否定是：“对任意 $x \in R$ ，均有 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”． D、命题“若 $x = y$ ，则 $sin x = sin y$ ”的逆否命题为真命题．

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二、填空题

11. 下列说法中
①命题“已知 $x ， y \in R$ ，若 $x + y \neq 3$ ，则 $x \neq 2$ 或 $y \neq 1$ ”是真命题；

②命题“若 $p$ ，则 $q$ ”的否命题为“若 $q$ ，则 $p$ ”；

③若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；

④命题“ $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} = 1$ ”的否定为“ $\forall x \in R ， x^{2} \neq 1$ ”.

正确说法的序号是.

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12. 能够说明“若a ， b ， m均为正数，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ”是假命题的一组整数a ， b的值依次为.

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13. 如果原命题 $P$ 是“若 $c < 0$ ，则抛物线 $y = x^{2} - x + c$ 与 $x$ 轴有两个不同交点”，那么 $P$ 的逆否命题可表示为，而 $P$ 的否命题是个命题.(填“真”，“假”之一)

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14. 命题 $" a, b \in R$ ，若 $a + b < 4$ ，则 $a < 2$ 或 $b \leq 2 "$ 是命题.（填“真”或“假”）

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15. 命题“若 $a > - 3$ ，则 $a > - 6$ ”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为.

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16. 下列命题中为真命题的是． (填序号)
①命题“若 $x > y$ ，则 $x > | y |$ ”的逆命题；

②命题“若 $x > 1$ ，则 $x^{2} > 1$ ”的否命题；

③命题“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} + x - 2 = 0$ ”的否命题；

④“若 $x^{2} < 4$ ，则 $- 2 < x < 2$ ”的逆否命题．

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17. 已知c＞0，设命题p：函数y＝c^x为减函数.命题q：当x∈ $[\frac{1}{2}, 2]$ 时，函数f(x)＝x＋ $\frac{1}{x} > \frac{1}{c}$ 恒成立.如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围是.

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18. 已知下列命题：
①命题“∃x₀∈R， $x_{0}^{2} + 1 > 3 x_{0}$ ”的否定是“∀x∈R，x²＋1＜3x”；

②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“ $(\neg p) \land (\neg q)$ ”为真命题；

③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；

④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．

其中所有真命题的序号是．

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19. 如果原命题 $P$ 是“若整数 $a$ 不能被4整除，则 $a$ 是奇数”，那么 $P$ 的否命题可表述为， $P$ 的逆否命题是一个命题（可填：“真”，“假”之一）.

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20. 在命题 $p$ 的逆命题、否命题、逆否命题，这三个命题中，真命题的个数最少是

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三、解答题

21.

(1)、若 $m \leq 0$ 或 $n \leq 0$ ，则 $m + n \leq 0$ ．写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假；

(2)、设原命题是：当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假．

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x - a} + 1$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )过点 $(\frac{1}{2} ， 2)$ .

(1)、求实数 $a$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + \frac{1}{2}) - \frac{3}{2}$ ，求函数 $g (x)$ 的解析式；

(3)、已知命题 $p$ ：“任意 $x \in R$ 时， $g (a x^{2} + a x + 2) \leq 0$ ”，若命题 $\neg p$ 是假命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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23. 写出命题“若x²＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

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24. 已知命题 $p :$ 存在实数 $x \in R$ ，使 $x^{2} - a x + 1 \leq 0$ 成立.

(1)、若命题P为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、命题 $q :$ 任意实数 $x \in [1, 2]$ ，使 $x^{2} - 2 a x + 1 \leq 0$ 恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.

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25. 已知命题p：方程 $\frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{1 - m} = 1$ 表示焦点在y轴上的双曲线；命题q：不等式 $4 x^{2} > 4 (m + 2) x - 1$ 恒成立.若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数m的取值范围.

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26. 已知命题 $p :$ 对任意 $x \in R$ ，不等式 $x^{2} - 2 x + 2 - a > 0$ 恒成立，命题 $q :$ 方程 $\frac{x^{2}}{a + 3} + \frac{y^{2}}{a} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则

(1)、若 $q$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若“ $p$ 或 $q$ ”为真，“ $p$ 且 $q$ ”为假，求实数 $a$ 的取值范围.

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27. 命题 $p :$ 方程 $\frac{x^{2}}{k - 1} + \frac{y^{2}}{k - 3} = - 1$ 表示椭圆，命题 $q : \forall x \in R, k x^{2} - k x + 1 \geq 0$ 恒成立；

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若命题 $\neg p \land q$ 为真，求实数 $k$ 的取值范围.

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28. 写出命题若 $\sqrt{x - 2} + {(y + 1)}^{2} = 0$ ，则 $x = 2$ 且 $y = - 1$ 的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

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29. 已知命题p: $\forall x \in [- \frac{1}{2}, 1]$ ，不等式 $m - x^{2} \geq 0$ 恒成立； $q$ ：方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆．

(1)、若 $\neg p$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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30. 已知命题:若m>2,则方程x²+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.

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